PROCESS DYNAMICS AND CONTROL

Un processo varia nel tempo a causa dei cambiamenti delle variabili operative e delle perturbazioni (eventi indesiderati). L'analisi si basa su bilanci e/o misure dirette nel tempo.

1) INTRODUZIONE

Un processo è un insieme di unità funzionali in cui la materia prima viene trasformata in prodotti. In generale, viene aggiunta o rimossa energia mediante scambiatori di calore, evaporatori e altri dispositivi.

Perché è necessario controllare un processo?

1. 1. Sicurezza: Protezione delle operazioni, delle apparecchiature e dell’ambiente

   2. Profitto: Ottimizzazione della produzione e riduzione delle perdite (materia, energia, tempo)

Variabili del controllo (intervento attivo) di processo

• 1. Variabili controllate (CVs): Parametri che devono essere monitorati

  2. Variabili manipolate (MVs): Parametri che possono essere regolati per influenzare le CVs

Esempio

Obiettivo: Miscelare un fluido con flusso di vapore per raggiungere una temperatura desiderata.

• La valvola regola il flusso di vapore, che funge da variabile manipolata

• Il sistema include sensori per misurare la temperatura (variabile controllata)

• Il controllo può essere effettuato in retroazione (feedback control) per correggere eventuali deviazioni dalla temperatura impostata

Per problemi legati alla necessità di un intervento continuo da parte di un operatore si è ricorso al controllo automatico in retroazione, in cui un sensore misura la variabile di interesse, trasmettendola a un trasmettitore che la converte in un segnale adeguato, mentre un controller confronta il segnale con il set point e, in base alla discrepanza, invia un segnale alla valvola per modificarne l'apertura. 

Il ciclo di controllo, che può essere a ciclo aperto o chiuso, si compone fondamentalmente di un elemento sensore (monitora) + trasmettitore, che monitora lo stato della centrale (talvolta suddiviso in elementi di misura "primari" e "secondari"), di un controller, che rappresenta il "cervello" del sistema e prende decisioni sulla correzione da apportare, e di un elemento finale di controllo, spesso una valvola ma anche altri attuatori come pompe a velocità variabile o motori elettrici, i quali devono avere un effetto immediato sulla variabile misurata. 

Si distinguono stati, che rappresentano l'insieme minimo di variabili necessarie per descrivere la condizione interna del sistema (come composizione, accumulo, entalpia), inputs che stimolano indipendentemente il sistema (tra cui le variabili manipolate e le perturbazioni, quest'ultime non soggette ad intervento), ed outputs che forniscono informazioni sullo stato interno, come la temperatura per l'entalpia o il livello per l'accumulo.

Tra i problemi tipici di controllo si evidenziano il controllo regolatorio (con l'obiettivo di annullare l'effetto delle perturbazioni per mantenere costante l'uscita al set point) e il controllo servo, il cui obiettivo è far seguire all'uscita una traiettoria variabile nel tempo.

Esempio

processo di miscelazione volto a ottenere una corrente di uscita con composizione assegnata a partire dalla miscelazione di due correnti d'ingresso, in cui si assumono condizioni di Vcostante, flusso di massa e composizione variabile, con una delle correnti costituita da materia pura; per mantenere la concentrazione di uscita desiderata in presenza di variazioni della concentrazione in ingresso si possono adottare diverse metodologie:

• • controllo feedback basato sulla misura diretta della concentrazione in uscita e l'aggiustamento proporzionale del flusso manipolato

  • il controllo feedforward basato sulla misura della concentrazione in ingresso

  • una combinazione di controllo feedforward e feedback

  • un cambiamento progettuale come l'uso di un serbatoio di miscelazione di dimensioni maggiori;

Si distinguono i sistemi SISO (singolo ingresso e singola uscita) dai sistemi MIMO (molteplici ingressi e molteplici uscite), che possono essere soggetti a controllo decentralizzato (multiloop di tipo 1x1) o centralizzato (multivariabile, richiedendo modelli dinamici complessi), e infine si illustrano simboli strumentali come A per analizzatore (composizione), C per controller, F per portata, H per alto, I per indicatore di corrente, L per livello basso, P per pressione, R per variabile registrata, S per velocità o switch, T per trasmettitore di temperatura.

2) 1^ PRINCIPIO TEORICO DEI MODELLI DINAMICI

A cosa servono i modelli dinamici? Avre un controllo automatico del processo, il primo approccio è basarsi su equazioni:

• servono per comprendere il sistema sia per ingegneri e operatori

• sviluppare nuovi processi o migliorarlo

• ottimizzare le condizioni operative

2 Principali approcci:

• 1^ principio/teorico= bilanci ed equazioni costitutive, valide in grandi range di T, P,... ma lente da calcolare

• Empirical models= derivano da fitting di dati sperimentali trovando una correlazione polinomiale, semplici e veloci, si cambia parametro e si misura. codizioni operative più limitate, ma 2 variabili e no estrapolazione.

• semiempirical

I modelli dinamici di un sistema possono essere derivati essenzialmente tramite due tipi di equazioni--> sistema di equazioni differenziali-algebriche (DAE).

1. Equazioni di conservazione (massa, energia, momento):

• • • differenziali ordinarie (ODE), portano a modelli a parametri concentrati

    • differenziali parziali (PDE), portano a modelli a parametri distribuiti

2. Equazioni costitutive: 

• • • algebriche (AE) descrivono l’equilibrio termodinamico, il trasporto di massa/energia, le proprietà fisiche, le cinetiche, ecc.

I modelli basati sui principi primi rappresentano un’astrazione della realtà, in quanto possono includere aspetti sia macroscopici che microscopici del sistema reale. Il livello di dettaglio da includere dipende dall’uso che se ne vuole fare; pertanto, è necessario trovare un compromesso tra accuratezza e complessità: modelli più accurati risultano più complessi e costosi da sviluppare e utilizzare, mentre semplificazioni sono spesso indispensabili per rendere il modello adatto alla specifica applicazione.

Degrees of freedom (d.o.f.) di un modello dinamico:

1. Si elencano tutte le quantità note (parametri determinabili da dimensioni degli impianti, proprietà fisiche,...). 

2. Si determina il numero 𝑁ₒ di variabili di processo e il numero 𝑁ₑ di equazioni indipendenti. 

3. Il numero di gradi di libertà è 𝑁d = 𝑁ₒ − 𝑁ₑ.

• • Se 𝑁d = 0, il modello è esattamente determinato (1 soluzione unica)

  • Se 𝑁d > 0, il modello è sottodeterminato (variabili libere)

  • Se 𝑁d < 0, il modello è sovradeterminato (non ha soluzioni)

Un esempio di applicazione di questo approccio riguarda il modello dinamico di un serbatoio agitato e riscaldato, considerato in differenti configurazioni: 

• Serbatoio a volume costante, dove il modello si basa sull’equazione per il bilancio energetico che considera la potenza dissipata e il trasferimento di calore dovuto all’afflusso in ingresso.

Assunzioni in questo caso

1. Miscelazione Perfetta: La temperatura del fluido nel serbatoio Tout(t) è uguale alla temperatura del fluido di ingresso T, che è anche la temperatura interna Tinternal(t)

2. Nessuna Accumulazione: Il flusso di ingresso wi è uguale al flusso di uscita wo​, il che significa che non c'è accumulazione di fluido nel serbatoio.

3. Capacità Termica Costante: La capacità termica cp è indipendente dalla temperatura T.

4. Densità Costante: La densità ρ è indipendente dalla temperatura T.

5. Nessuna Perdita di Calore con l'Ambiente: Non ci sono perdite di calore con l'ambiente circostante.

6. Potenza Elettrica Dissipata: Qd(t) è trasferita continuamente al sistema.

• Serbatoio a volume variabile, dove si aggiunge l’equazione del bilancio di massa per descrivere l’accumulo o la perdita di fluido.

• Un caso in cui si tiene conto della capacità termica non trascurabile di una resistenza elettrica, dove la potenza erogata non viene trasferita immediatamente al sistema.

3) LAPLACE TRANSFORMATION

La caratterizzazione della risposta dinamica di un sistema (SISO) si basa sull’osservazione di come la variabile di uscita (y) risponde a una variazione dell’ingresso (u). In pratica, si procede seguendo questi passaggi:

1. 1. Si modella il sistema mediante bilanci di massa ed energia e si integrano le equazioni costitutive.

   2. Si introduce una funzione "forzante" che modifica l’ingresso.

   3. Si integra il sistema di equazioni differenziali o differenziale-algebriche per ottenere la risposta temporale.

Questo approccio consente di rispondere a domande fondamentali: la risposta è monotona o oscillatoria? È stabile, cioè rimane limitata in presenza di un ingresso limitato? Quale sarà il valore di regime e quanto tempo impiega il transitorio a smorzarsi? Se la risposta è oscillatoria, è importante conoscere il periodo delle oscillazioni e il tempo necessario al loro smorzamento.

Per semplificare l’analisi dei sistemi dinamici, si ricorre spesso alla trasformata di Laplace. La trasformata di Laplace, definita da

  ℒ [f(t)] = ∫₀∞ f(t) e^(–st) dt

trasforma le equazioni differenziali, che sono complesse da risolvere nel dominio del tempo, in equazioni algebriche nel dominio di s (variabile complessa s = x + j·y). Questa operazione è facilitata dalle proprietà lineari della trasformata e dai teoremi del valore iniziale e finale, che permettono di ricostruire il comportamento della funzione originale a t = 0 e per t → ∞, rispettivamente. E' un operatore lineare.

È utile rinfrescare alcuni concetti matematici di base, come la rappresentazione dei numeri complessi (forma cartesiana, polare ed esponenziale) e la relazione di Eulero (e^(jθ) = cosθ + j sinθ). 

Tra le funzioni rappresentative si ricordano, ad esempio: 

• La funzione costante e la funzione scalino unitario (o gradino unitario), utile per definire l’istante t = 0.

• La trasformata della derivata temporale, che introduce una moltiplicazione per s e richiede la conoscenza delle condizioni iniziali.

• La trasformata dell’integrale, che comporta una divisione per s.

• La funzione di ritardo nel tempo, il cui contributo nella trasformata di Laplace è dato da un fattore esponenziale (e^(–st₀)).

4) TRANSFER FUNCTION MODELS 

La funzione di trasferimento rappresenta un modello compatto della dinamica di un processo, esprimendo il rapporto tra la trasformata di Laplace dell’uscita Y(s) e quella dell’ingresso U(s), ossia G(s) = Y(s)/U(s). In pratica, partendo dalle equazioni differenziali che descrivono il sistema, si applica la trasformazione di Laplace per ottenere una rappresentazione algebrica che evidenzia le proprietà dinamiche attraverso polinomi in s, dove il denominatore caratterizza l’ordine del sistema e i suoi poli, mentre il numeratore, che può includere termini di ordine superiore (numerator dynamics), definisce gli zeri.

Questa rappresentazione consente di analizzare in maniera diretta il rapporto causa–effetto, dove l’ingresso rappresenta il forzante (forcing function) e l’uscita la risposta del sistema.

Partendo dalle equazioni differenziali che descrivono la dinamica del sistema, si applica la trasformazione di Laplace. Ad esempio, consideriamo il modello dinamico:

  a₂ d²y(t)/dt² + a₁ dy(t)/dt + a₀ y(t) = b u(t)

Applicando la trasformazione di Laplace a ciascun termine (ricordando che la trasformata di un derivato introduce condizioni iniziali) si ottiene:

  a₂ ℒ[d²y(t)/dt²] + a₁ ℒ[dy(t)/dt] + a₀ ℒ[y(t)] = b ℒ[u(t)]

Successivamente, attraverso opportune manipolazioni algebriche, la funzione di trasferimento si scrive come:

Y(s) = [b/(a₂ s² + a₁ s + a₀)] U(s) + [Termini dovuti alle condizioni iniziali]

Consizioni iniziali

Per evitare che le condizioni iniziali alterino la rappresentazione dinamica, si ricorre alle cosiddette variabili di deviazione, definite come y′(t) = y(t) − yss e u′(t) = u(t) − uss, che sono nulle all’istante iniziale e consentono di studiare la risposta del sistema alle perturbazioni attorno ad un punto di equilibrio. 

Per eliminare la dipendenza dai valori iniziali (condizioni al tempo t = 0) si introduce il concetto di variabili di deviazione (o perturbazione) per ingresso e uscita come:

  u′(t) = u(t) − uₛ
  y′(t) = y(t) − yₛ

dove uₛ e yₛ rappresentano i valori stazionari nominali al tempo iniziale. In questo modo, poiché al tempo t = 0 si ha u′(0) = 0 e y′(0) = 0, le trasformate di Laplace delle derivate non includono termini dovuti alle condizioni iniziali. Questa operazione permette di concentrarsi esclusivamente sulla dinamica che si manifesta a seguito di una perturbazione rispetto allo stato stazionario. Qui ' non significa derivata prima!

Nel caso di sistemi con più ingressi indipendenti, come miscelazione perfetta di due flussi liquidi con la stessa concentrazione di un soluto, il modello dinamico viene scritto in forma differenziale. L’equazione generale che descrive la variazione della concentrazione (o di una grandezza analoga) è:

  ρV dx(t)/dt = w1 x1(t) + w2 x2(t) − w x(t)

dove V, ρ e w sono costanti (volume, densità e portata complessiva, rispettivamente).

Si introduce quindi una rappresentazione in cui ogni ingresso indipendente è associato a una funzione di trasferimento. Ad esempio, ponendo a zero la perturbazione sull’altro ingresso, si ottiene:

  X′(s) / X1′(s) = G1(s) = K1/(τ s + 1)
  X′(s) / X2′(s) = G2(s) = K2/(τ s + 1)

In presenza di perturbazioni simultanee, il principio di sovrapposizione (grazie alla linearità della trasformata di Laplace) permette di sommare gli effetti dei singoli ingressi:

  X′(s) = G1(s) X1′(s) + G,2(s) X2′(s)

Il guadagno 

in regime stazionario, ottenuto valutando G(s) in s = 0, quantifica il rapporto tra la variazione dell’uscita e quella dell’ingresso dopo che il sistema ha raggiunto un nuovo stato stazionario ed è indipendente dalla forma della perturbazione (ad esempio, una funzione a gradino). Le proprietà additive e moltiplicative delle funzioni di trasferimento permettono di analizzare separatamente l’effetto di ingressi multipli e di comporre sistemi in cascata.

Per valutare accuratamente il guadagno di un sistema di controllo dinamico utilizzando una funzione forzante a gradino, è consigliabile utilizzare un'ampiezza sufficientemente grande da produrre una risposta misurabile e distinguibile dal rumore di fondo, ma non così grande da portare il sistema fuori dalla sua zona di linearità o causare instabilità. Questo equilibrio garantisce che la risposta osservata sia rappresentativa del comportamento normale del sistema. 

Se, ad esempio, si impone un cambiamento a gradino unitario sull’ingresso, il guadagno si determina valutando la funzione di trasferimento in s = 0:

  K = G(0) = limₛ→0 G(s)

Questa definizione è indipendente dalla forma della perturbazione, in quanto il guadagno normalizza la risposta del sistema rispetto al cambiamento imposto all’ingresso.

• Costante di tempo bassa: Indica che il reattore risponde rapidamente alle variazioni delle condizioni operative o dei setpoint. Questo è vantaggioso quando si desidera un controllo preciso e rapido del processo, riducendo al minimo i tempi di risposta e aumentando la produttività. 

• Ogni stato stazionario ha le proprie unità di misura (output u.m. / input u.m.) E il suo valore può essere positivo o negativo

Struttura e ordine della funzione di trasferimento

In generale, la funzione di trasferimento G(s) è espressa come il rapporto di due polinomi in s:

  G(s) = [bₙ sⁿ + bₙ₋₁ sⁿ⁻¹ + … + b₀] / [aₘ sᵐ + aₘ₋₁ sᵐ⁻¹ + … + a₀]

Il grado del polinomio al denominatore (n) rappresenta l’ordine del sistema, mentre la differenza tra l’ordine del denominatore e quello del numeratore (grado relativo) quantifica il ritardo inerente alla risposta del sistema.
I poli (le radici del denominatore) e gli zeri (le radici del numeratore) forniscono informazioni fondamentali sulla stabilità e sulla dinamica della risposta. Inoltre, scrivendo la funzione in “forma a costanti temporali”, si evidenziano esplicitamente i singoli tempi caratteristici τ, attraverso una fattorizzazione del tipo:

  G(s) = K · B(s) / [(τ₁ s + 1)(τ₂ s + 1)…(τₙ s + 1)]

dove B(s) rappresenta un polinomio (eventualmente di grado diverso da zero) che raccoglie le dinamiche del numeratore.

Proprietà additive e moltiplicative delle funzioni di trasferimento

• Proprietà additiva (sovrapposizione): se un sistema ha più ingressi indipendenti, l’effetto complessivo sull’uscita è dato dalla somma delle risposte individuali. 

• Proprietà moltiplicativa: quando si connettono in cascata più sottosistemi, la funzione di trasferimento complessiva si ottiene come il prodotto delle singole funzioni di trasferimento.

Sistemi lineari vs NON lineari e il processo di linearizzazione

La trasformata di Laplace si applica in maniera diretta solo a sistemi lineari caratterizzati da equazioni differenziali a coefficienti costanti. Un sistema è definito lineare se la risposta a una combinazione di ingressi è la combinazione (lineare) delle risposte ai singoli ingressi (principio di sovrapposizione).
Tuttavia, molti processi reali presentano comportamenti non lineari. Ad esempio, la dipendenza di una costante cinetica dal tempo o della pressione di vapore dalla temperatura sono fenomeni intrinsecamente non lineari.

Per poter applicare gli strumenti della trasformazione di Laplace, si ricorre alla linearizzazione del sistema attorno a un punto di funzionamento (stato stazionario). Questo avviene tramite un’espansione in serie di Taylor troncata al primo ordine, ottenendo:

  f(y, u) ≈ f(yₛ, uₛ) + (∂f/∂y)|₍yₛ,uₛ₎ (y − yₛ) + (∂f/∂u)|₍yₛ,uₛ₎ (u − uₛ)

Dato che in stato stazionario f(yₛ, uₛ) = 0, l’equazione differenziale diventa lineare rispetto alle variabili di deviazione y′ e u′. In questo modo si ottiene una funzione di trasferimento che, pur essendo valida solo nei pressi del punto nominale, permette di analizzare la dinamica locale del sistema e di definire parametri come il guadagno e il tempo caratteristico.

For nonlinear systems, the gain and the time constant depend on the nominal steady state! 

PARTE 2

5) COMPORTAMENTO DINAMICO PROCESSI 1^ - 2^ ORDINE

1. Partiremo da sistemi semplici.

2. Li combineremo utilizzando il principio di sovrapposizione.

3. Otterremo il comportamento dinamico di sistemi più complessi.

Gli input di un sistema dinamico

Per progettare un sistema di controllo, è necessario conoscere la risposta del sistema dinamico (cioè il processo) agli input.

• Questo significa analizzare come il sistema risponde a variazioni delle variabili di ingresso che influenzano l'output (la variabile da controllare).

• La funzione di trasferimento (TF) permette di valutare l'effetto degli input sull'output.

• L'uso delle TF consente di generalizzare la descrizione del comportamento dinamico di un processo.

L'input di un sistema dinamico può essere:

• Manipolato (controllabile direttamente).

• Disturbante (variazioni indesiderate che influenzano il sistema).

Analisi della dinamica di un sistema

1. Perturbiamo il sistema applicando una variazione (funzione di forzatura) su ciascun input individualmente, mantenendo aperti eventuali anelli di controllo. Nel caso di input multipli, le variazioni vengono applicate una alla volta.

2. Osserviamo la risposta dinamica dell'output .

3. Estraiamo informazioni sul comportamento stazionario e dinamico del sistema.

4. Utilizziamo queste informazioni per progettare il controllore, determinando la risposta in anello chiuso.

Lista delle perturbazioni

Esempi reali:

• Una valvola che si apre rapidamente (gradino).

• Una valvola che si apre con velocità costante (rampa).

• La temperatura dell'acqua di raffreddamento che varia giornalmente (sinusoidale).

Le perturbazioni sono espresse come variabili di deviazione.

Sistemi del primo ordine

I sistemi del primo ordine sono descritti da un'equazione differenziale del primo ordine:

• G è il guadagno stazionario del sistema (unità di output/unità di input).

• K è la costante di tempo del sistema.

• La velocità di variazione dell'output dipende dal valore attuale dell'output stesso.

Risposta al gradino

Se l'input è un gradino di ampiezza :

Applicando la trasformata inversa:

• Il sistema risponde immediatamente alla perturbazione.

• La velocità di variazione è massima in e decresce progressivamente.

• Un nuovo stato stazionario si raggiunge solo per (sistema auto-regolante).

• Il tempo necessario per stabilizzarsi è circa 4-5 costanti di tempo.

• indica la velocità di risposta: un valore maggiore implica una risposta più lenta.

• determina l'amplificazione della variazione dell'input sull'output.

Risposta sinusoidale

Se l'input è una funzione sinusoidale:

L'output è anch'esso una sinusoide, ma con ampiezza diversa e sfasata rispetto all'input:

• L'ampiezza dell'output dipende da e .

• A frequenze elevate, la risposta viene attenuata (il sistema agisce come un filtro passa-basso).

• Il ritardo di fase dipende da e :

Esempio di funzione di trasferimento del primo ordine

Consideriamo un serbatoio perfettamente agitato di volume m³, riscaldato elettricamente. L'afflusso di liquido ha una portata costante kg/h, con densità e calore specifico costanti (900 kg/m³ e 1 kcal/(kg×°C)).

L'obiettivo è determinare la funzione di trasferimento che lega la temperatura in uscita all'input .

Sistemi del 2^ ordine

sistemi del secondo ordine sono descritti da un'equazione differenziale lineare del secondo ordine con a0≠0:

Spesso, anche se non necessariamente, due sistemi del primo ordine in serie danno origine a un sistema del secondo ordine. I parametri fondamentali di un sistema del secondo ordine sono:

• KK guadagno stazionario del sistema (rapporto tra uscita e ingresso a regime permanente)

• τ>0: periodo naturale o costante di tempo caratteristica

• ζ: fattore di smorzamento, adimensionale

La risposta al gradino di un sistema del secondo ordine dipende dal valore del fattore di smorzamento ζ. 

• Per ζ>1, la risposta è sovrasmorzata (overdamped), priva di oscillazioni. 

• Per ζ=1, il sistema è criticamente smorzato (critically damped), con il tempo di risposta minimo senza overshoot.

• Per 0<ζ<1, la risposta è sottosmorzata (underdamped) e presenta oscillazioni smorzate con overshoot. 

• per ζ=0, il sistema è non smorzato (undamped) e le oscillazioni persistono indefinitamente.

La risposta a un ingresso sinusoidale mostra un transitorio iniziale che si attenua dopo alcune costanti di tempo τ, lasciando una risposta sinusoidale in regime permanente con la stessa frequenza dell’ingresso ma con ampiezza e fase modificate. Il rapporto di ampiezza normalizzato (ARN) quantifica l’effetto della dinamica del sistema sulla risposta sinusoidale e può mostrare un picco di risonanza se 0<ζ<0.707. Se ζ è elevato, l’ampiezza della risposta decresce con l’aumentare della frequenza di eccitazione.

Nei sistemi in anello chiuso, la risposta ai cambiamenti del set-point può essere simile a quella di un sistema del secondo ordine sottosmorzato in anello aperto. L’analisi della risonanza e dello smorzamento è cruciale in molti ambiti ingegneristici, come il controllo dei processi e la progettazione strutturale, per evitare instabilità e amplificazioni indesiderate delle oscillazioni.

Amplificazione delle oscillazioni

Per un dato 𝜏, in sistemi con smorzamento piuttosto piccolo (0 < 𝜁 < ~0.707), ARN mostra un picco per un certo valore 𝜔∗ di 𝜔

In sistemi con maggiore smorzamento 𝜁, ARN decresce monotonicamente all'aumentare di 𝜔

•  Un sistema sovrasmorzato (𝜁 > 1) smorza sempre le oscillazioni di ingresso

•  Un sistema sottosmorzato (𝜁 < 1) può amplificarle, possibilmente in misura molto grande (se la frequenza di ingresso è vicina a quella di risonanza)

La frequenza 𝝎∗ a cui si trova un picco in ARN è chiamata frequenza di risonanza

Un processo con poco smorzamento (𝜁 «piccolo») esibisce una risposta oscillatoria con ampia ampiezza (scala logaritmica!) se è perturbato da un segnale periodico con frequenza vicina a quella di risonanza

Integrazione di processi 

Il flusso in uscita non dipende dal livello ( h), ma solo dalla velocità della pompa. Se i flussi in ingresso ( \( q_i \) ) e in uscita ( \( q \) ) non sono bilanciati, il serbatoio si svuota o trabocca.

La funzione di trasferimento (TF) di ciascun input contiene il fattore. Questo fattore è chiamato integratore. Si verifica quando l'output dipende dal tempo attraverso l'integrale di un input. L'integrazione del bilancio iniziale dà come risultato:

I processi di integrazione non hanno un guadagno stazionario.

Non sono autoregolanti.

Quando forzati da una perturbazione a gradino, non si stabilizzano in un nuovo stato stazionario.

• Sono instabili in loop aperto.

• Tipicamente, i processi batch sono sistemi integrativi.

• In un sistema integrativo, la derivata dell'output non dipende dall'output, ma solo dagli input.

• Questa è la differenza formale più rilevante rispetto ai sistemi di primo ordine.

RISPOSTA A GRADINO DI INTEGRATORI PURI

La funzione di trasferimento del processo (TF) incorpora tutte le informazioni su come il processo risponde a una perturbazione:

• Caratteristiche stazionarie (statiche): Guadagno (se esiste).

• Caratteristiche dinamiche: Costante di tempo (o tempo caratteristico). Fattore di smorzamento.

Osservando la TF è possibile comprendere come il sistema risponderà a un cambiamento dell'input, anche senza perturbare il sistema. Informazioni aggiuntive sulla forma della risposta sono fornite dalla perturbazione stessa.

6) Dynamic behavior of more complicated processes 

Caratteristiche intrinseche del sistema
Il comportamento dinamico di un sistema è determinato dal polinomio caratteristico, ovvero il denominatore della funzione di trasferimento (TF). 

Indipendentemente dall'input, la risposta di questo esempio generico conterrà le seguenti funzioni del tempo:

Questi 4 termini dinamici sono «ponderati» tramite le costanti A, B e C (i cui valori dipendenti da 𝜏1, 𝜏2 e 𝜁)

Questo polinomio definisce le radici, o poli, che rappresentano le modalità naturali del sistema. 

• Le 𝑝i possono essere reali o complesse, con parti reali positive o negative

• Ogni modalità dinamica contribuisce alla risposta complessiva tramite un addendum di G(s). La risposta complessiva è la somma ponderata delle modalità naturali, ciascuna delle quali non dipende dall'input

• Nonostante la forma della risposta complessiva dipenda dalla f.f. U(s), la dinamica intrinseca (che dipende solo dalle modalità naturali) è indipendente da U(s)

Nota: se una modalità naturale (polo) porta un sottosistema all'instabilità, la risposta complessiva sarà instabile!

Scomposizione in modalità dinamiche

Anche se la funzione di trasferimento G(s) di un sistema può avere una struttura complessa, essa può essere vista come la somma di componenti più semplici (o “modi naturali”). Ad esempio, per una TF del tipo

In ogni caso, la dinamica intrinseca della risposta è determinata dal processo, non dal f.f.

• Le caratteristiche intrinseche sono chiamate modi naturali o «modi naturali» o «risposte naturali»

• Da un punto di vista pratico, i modi naturali sono determinati dalle radici pi del polinomio caratteristico

• In questo caso:

Nel dominio del tempo, ogni modo corrisponde a un termine del tipo −𝑝

• Le radici del polinomio caratteristico sono chiamate poli del sistema. I modi naturali sono «pesati» l'uno con l'altro a seconda dei valori dei parametri 𝜏, 𝜁, …

• In generale, la risposta è «dominata» dal modo più lento (quello con ↑ 𝜏i),  𝑒^tp rilevante decade più lentamente

POLES IN THE COMPLEX PLANE 

• L'integratore (p1) si trova sull'origine del piano

• Ogni volta che si verifica una soluzione complessa, si verifica anche il suo coniugato (p3,4)

• Nel dominio del tempo, i poli pi diventano modi di tipo −𝑝e^t p

• La velocità di risposta corrispondente a un dato modo aumenta man mano che il polo si allontana dall'asse immaginario

• I poli con parte immaginaria non nulla (p3,4) indicano l'esistenza di oscillazioni nella risposta (sono presenti termini seno e coseno)

• I poli con parte reale positiva indicano una risposta che non si stabilizza in uno stato stazionario (sistemi instabili)

Quindi i poli possono essere reali o complessi.

• I poli reali determinano risposte esponenziali pure: il più lento (ossia quello con parte reale più piccola in valore assoluto) domina il comportamento asintotico.

• I poli complessi coniugati introducono oscillazioni (termine sinusoidale e cosinusoidale) che sono anch’esse modulati da un decadimento esponenziale.

La stabilità del sistema è garantita se tutti i poli hanno parte reale negativa (si trovano nel semipiano sinistro del piano complesso). Se uno o più poli hanno parte reale positiva, il sistema risulta instabile e la risposta non converge a uno stato stazionario.

La dinamica complessiva del sistema è determinata non solo dalle radici del denominatore (poli), ma anche dalle radici del numeratore (zeri)

La presenza di zeri non influenza la presenza (e la posizione) dei poli.  A meno che non si verifichi un'esatta «cancellazione polo-zero»

Tuttavia, gli zeri hanno un forte effetto su come le modalità naturali del sistema sono «pesate» l'una con l'altra. Influenzano i coefficienti di fattorizzazione TF

Costante di tempo dominante: la più grande (cioè la modalità naturale più lenta)

Risposta a un gradino e stato stazionario con dinamica numeratore

Quando si applica un ingresso a gradino, la risposta complessiva del sistema risulta dalla sovrapposizione dei contributi di ciascuna modalità naturale. Conoscendo la posizione dei poli, è possibile prevedere se il sistema raggiungerà un nuovo stato stazionario:  

• Se il sistema è stabile (tutti i poli con parte reale negativa) e non presenta un polo integratore (ossia p=0p = 0), l’applicazione di un gradino farà sì che la risposta converga a un valore costante determinato dalla funzione di trasferimento in regime stazionario.

• Se è presente un polo in s=0s = 0 (caratteristico di sistemi con integrazione), il gradino potrebbe determinare una risposta non limitata o una variazione infinita, a meno che non siano previste tecniche compensative.

In genere, un «salto» a t=0 (per un passo f.f.) può verificarsi solo se il numeratore N(s) e il denominatore D(s) di G(s) hanno dinamiche dello stesso ordine

Vedere il teorema del valore iniziale, ad esempio su: I sistemi fisici reali hanno D(s) con dinamiche di ordine superiore rispetto a quella di N(s). ovvero, hanno un'inerzia intrinseca, che impedisce loro di rispondere istantaneamente a una variazione di input. m < n: condizione di realizzabilità fisica. n è l'ordine del denominatore e m è l'ordine del numeratore

Una risposta lead/lag non esiste fisicamente nei processi industriali, ma può essere ottenuta come output di un sistema di controllo. È possibile costruire un elemento lead-lag digitalmente. Per modificare la dinamica del sistema, si introduce un «salto» in un input manipolato

Risposta al gradino e salto iniziale
Nel caso di un sistema FO semplice (senza dinamica numeratore) la risposta a un gradino evolve in modo esponenziale dal valore iniziale al valore finale determinato da K·M. L’introduzione di uno zero (elemento lead) genera un salto all’istante t = 0;

• • Se il tempo di anticipo (lead) è nullo, si ottiene la risposta FO tipica

  • Se lead e lag coincidono, si verifica una cancellazione tra polo e zero, comportando una risposta “pulita” da salto.

  • Se il tempo di anticipo è maggiore di quello di lag (zero negativo), il sistema mostra un’accelerazione iniziale;

  • Per 𝜏a > max 𝜏1; 𝜏2 : la risposta iniziale è accelerata fino al punto in cui si verifica un superamento

  • Se il tempo di anticipo è minore (zero positivo), può verificarsi una risposta inversa (undershoot) in cui la risposta iniziale si muove nella direzione opposta a quella finale.

Sistemi con risposta inversa

La risposta inversa si manifesta quando, a seguito di un ingresso a gradino, l’uscita inizialmente si sposta in direzione contraria a quella del valore finale.

Le condizioni necessarie sono: Presenza di uno zero positivo nella funzione di trasferimento. Effetti paralleli con guadagni di segno opposto e dinamiche (tempi costanti) diverse: il “processo veloce” (con piccolo guadagno e tempo costante minore) genera il salto iniziale, mentre il “processo lento” domina il comportamento stazionario.

Ulteriori informazioni sulle condizioni necessarie:

• I guadagni devono avere segni opposti

• Il processo «veloce», che è quello con la costante di tempo più piccola, deve avere un guadagno minore (in valore assoluto)

Il guadagno complessivo 𝐾 = 𝐾1 + 𝐾2 ha lo stesso segno di quello con effetto dominante, che è quello più lento con il valore più alto di tau.

Risposta del livello inferiore di una colonna di distillazione a un aumento graduale del flusso di vapore del ribollitore

Effetto a lungo termine: Più liquido viene evaporato dal fondo, quindi il livello inferiore diminuisce.

Effetto a breve termine: Più liquido trabocca dai troppopieni dei vassoi, quindi il livello inferiore aumenta.

Risposta della temperatura di uscita in un reattore tubolare catalitico esotermico a un aumento graduale della temperatura di alimentazione

Effetto a lungo termine: La temperatura del catalizzatore aumenta lungo tutto il letto catalitico. La temperatura dei reagenti vicino all'uscita aumenta. La velocità di reazione in questa sezione aumenta. La temperatura di uscita del prodotto aumenta.

Effetto a breve termine: La conversione vicino all'ingresso del reattore aumenta prima che il catalizzatore possa essere riscaldato. La concentrazione dei reagenti vicino all'uscita diminuisce a causa del trasporto del fluido. Meno calore viene rilasciato vicino all'uscita. La temperatura di uscita diminuisce.

Sistemi con dead time (tempo morto)

Il dead time rappresenta un ritardo puro dovuto al tempo di trasporto, tipico nei processi industriali (ad esempio nel trasporto di fluidi). La funzione di trasferimento per un sistema con dead time è data da

Se esiste un regime laminare all'interno del tubo o il fluido non è newtoniano, la proprietà non si propaga in modo omogeneo

Per le distanze coinvolte in un processo chimico, il tempo morto puro è significativo solo per la composizione, la temperatura e altre proprietà dei fluidi e dei solidi che si propagano attraverso il movimento di fase lungo l'apparecchiatura.

La risposta al gradino mantiene la forma, ma viene semplicemente ritardata di θ secondi.

Spesso si combina il dead time con la dinamica di un sistema FO, dando origine ai modelli FOPDT (First Order Pure Dead Time) o FOPTD (First Order Plus Time Delay). Spesso la dinamica di un sistema non è né un tempo morto puro né un ordine puro di 1° ordine. Spesso la composizione dei due effetti (FO e tempo morto) si verifica

Approssimazioni del dead time polinomiale

Il termine e^(–θs) è irrrazionale e non può essere fattorizzato direttamente in termini di poli e zeri. Per analisi e progettazione si usano approssimazioni:

• L’espansione in serie di Taylor fornisce un’approssimazione iniziale (tipicamente fino al termine lineare, ad esempio ≅ 1 – θs), ma può richiedere più termini per precisione.

• L’approssimazione di Padé permette di esprimere il dead time come un rapporto di polinomi, ad esempio:
     1/1 Padé: (1 – θs/2)/(1 + θs/2)
     2/2 Padé: una forma con termini quadratici, che migliora la corrispondenza fino a θs ≅ 1.

CASCADE OF FO SYSTEMS 

Maggiore è il numero di sistemi interconnessi: Più lenta è la risposta complessiva e Più la risposta complessiva assomiglia alla risposta di un sistema SO sovrasmorzato con tempo morto (apparente)

Più aumenta il tempo morto apparente. Il motivo per cui si verifica un tempo morto in una risposta potrebbe non essere un ritardo di trasporto

Vorremmo trovare un modo per approssimare N(s) (che mostra uno zero) con un tempo morto (𝑒^-teta*s) e D(s) (che mostra diversi poli) con un singolo polo. Consideriamo solo il caso di zeri positivi (𝜏a < 0)

Consideriamo un generico processo di tempo morto con 𝜃0 > 0, con 𝜃0 sufficientemente piccolo. Dallo sviluppo in serie di Taylor troncato al termine FO:

Guardando in «modalità inversa»: Uno zero positivo o un polo negativo possono essere approssimati da un tempo morto

SIMPLE PROCEDURE FOR REDUCING A MODEL 

1. Trova la costante di tempo dominante (in questo caso, 𝜏1): Le altre costanti di tempo (𝜏2, 𝜏3) verranno "scartate". Ogni costante di tempo scartata corrisponde a un polo negativo scartato.

2. Approssima ogni polo negativo scartato con un tempo morto (𝜏2 = 𝑒...; 𝜏3 =...).

3. Se esistono zeri (positivi), approssima ciascuno di essi con un tempo morto (𝜏a = 𝑒...).

4. Costruisci la funzione di trasferimento relativa FOPDT: La sua costante di tempo è 𝜏 = 𝜏1 e il suo tempo morto 𝜃 è uguale alla somma dei tempi morti derivanti dalle approssimazioni descritte sopra (𝜃 = 𝜏2 + 𝜏3 + 𝜏a).

il guadagno K non dipende da considerazioni dinamiche. Pertanto, non è influenzato dalle approssimazioni 

INTERACTING SYSTEMS AND NON-INTERACTING SYSTEMS 

Prestare attenzione quando si collegano i sottosistemi, poiché non è sempre un compito banale

Esistono casi in cui la dinamica di un sistema a valle non può essere «disaccoppiata» da quella di un sistema a monte.

7) Sviluppo di modelli empirici a partire dai dati di processo

a) Modellazione teorica (da principi primi, basata sulla conoscenza)
Il modello di processo può essere ottenuto a partire dalle equazioni di bilancio (conservazione) e dalle relazioni costitutive. Questo tipo di modellazione rappresenta un modo efficace per organizzare la conoscenza disponibile sul sistema. Tuttavia, non sempre è possibile – o conveniente – sviluppare questo modello: l’impegno richiesto può essere troppo elevato in termini di energia, tempo o risorse economiche, oppure possono mancare informazioni sufficienti sulla "fisica" del processo.

b) Modellazione empirica (black-box, guidata dai dati)
L’identificazione del modello, o "process identification", consiste nella costruzione di un modello dinamico del processo usando esclusivamente dati sperimentali in ingresso e in uscita. Anche in questo caso, il modello serve a organizzare le informazioni disponibili, ma derivano esclusivamente dai dati: non si possono ottenere informazioni nuove o estendere il modello oltre i dati utilizzati per costruirlo.
Si assume che il processo si comporti linearmente in un intorno dello stato stazionario nominale, e quindi venga rappresentato da un modello lineare in funzione di trasferimento (TF).

Dato l’ingresso u(t) e l’uscita y(t) di un sistema dinamico, si cerca di determinare la funzione di trasferimento G(s) del sistema.

1. Definire gli obiettivi del modello: a cosa serve e chi lo utilizzerà.

2. Definire ingressi e uscite del modello.

3. Valutare i dati disponibili e pianificare la generazione di nuovi dati: quale funzione forzante applicare?

4. Selezionare la struttura del modello: ordine primo? secondo? presenza di ritardo temporale o dinamiche nel numeratore? La struttura viene ipotizzata a priori e verificata a posteriori.

5. Stimare i parametri del modello, tramite tecniche di data fitting lineari o non lineari, anche grafiche.

6. Valutare l’accuratezza del modello con test statistici: confrontare i dati vecchi con dati nuovi per la validazione.

7. Considerare anche test non statistici, esaminando forma della risposta, guadagno stazionario, stabilità, ecc.

c) Regressione lineare
Nella regressione dei dati, i termini "lineare" e "non lineare" si riferiscono alla dipendenza dei parametri nel modello, non al comportamento dinamico del processo.

 Supponiamo di avere N coppie sperimentali di ingresso/uscita (ui,yi). Un modello semplice può essere:

dove εi​ è l’errore di stima, e i parametri βj​ sono incognite lineari da stimare. Si usa la regressione ai minimi quadrati per minimizzare la somma degli errori quadratici (SSE). È necessario che il numero N di dati sia maggiore del numero p di parametri. Esiste una soluzione analitica, facilmente implementabile anche in Excel.

La tecnica si estende a sistemi MIMO (più ingressi/uscite), o anche a modelli dove gli ingressi compaiono in modo non lineare, purché i parametri restino linearmente presenti.

d) Regressione non lineare
Viene utilizzata quando l’uscita è una funzione non lineare dei parametri: y^i=f(u1,u2,...,β1,β2,...)
Ad esempio, per la cinetica di reazione rA=kcA^n​, i parametri k e n appaiono non linearmente.
In tal caso, si minimizza numericamente la SSE. La soluzione può essere ottenuta anche in Excel. Talvolta è possibile applicare una trasformazione delle variabili per far comparire linearmente i parametri.

--> Struttura dei sistemi da identificare
Ci si concentra sull’identificazione dei parametri dei modelli in funzione di trasferimento. I modelli più comuni sono:

I parametri da stimare sono il guadagno stazionario, le costanti di tempo (oppure il fattore di smorzamento e tempo caratteristico), il ritardo e il tempo di anticipo.
I modelli di risposta sono lineari da un punto di vista dinamico, ma non lineari da una prospettiva di regressione parametrica.

Tra tutti i possibili modelli di risposta che si adattano a un dato insieme di dati input-output, dovrebbe essere selezionato il modello di ordine più basso che porta a un SSE sufficientemente piccolo.

--> Come perturbare il sistema?
Il metodo più semplice è applicare un gradino in ingresso (step-test), da cui si ottiene la curva di reazione del processo. Dall’ispezione della risposta dinamica si può ipotizzare un modello ragionevole in funzione di trasferimento.
Se la risposta parte con pendenza tangente > 0, il sistema è di primo ordine. Se parte con pendenza nulla, è probabilmente di secondo ordine o superiore.

Problemi nell'identificazione grafica

• Il rumore è sempre presente nelle misure: rende difficile stimare la tangente iniziale. Può essere ambiguo distinguere un sistema FO da un SO. Il rapporto segnale/rumore deve essere sufficientemente elevato.

• Il processo reale non è mai esattamente FO o SO. Non è sempre possibile generare un gradino perfetto nella pratica.

• Un secondo ingresso non controllato può perturbare il sistema.

8) FEEDBACK CONTROL

Nel controllo in retroazione, l'informazione sullo stato del processo, rappresentata dalla variabile misurata ym(t), viene reintrodotta nel sistema tramite il controllore. L’obiettivo principale è ridurre il segnale di errore ε(t), definito come la differenza tra il valore di riferimento ysp(t) (set-point) e il valore misurato del processo:

ε(t)=ysp(t)−ym(t)

La variabile manipolata u(t)u(t) viene modificata per far sì che la variabile controllata y(t)y(t) segua il set-point. Il sistema può essere influenzato anche da disturbi d(t)d(t).

L’elemento finale di controllo è spesso una valvola, ma può anche essere una pompa a velocità variabile, una resistenza elettrica o altri dispositivi. Il trasmettitore invia al controllore la variabile di processo (PV) o variabile controllata (CV). Il segnale prodotto dal controllore è chiamato controller output (CO) e rappresenta l’azione di controllo applicata alla variabile manipolata (MV).

Nel caso di strumentazione analogica, i segnali in ingresso e in uscita sono continui e possono essere pneumatici o elettronici:

• Segnali pneumatici: tipicamente 3–15 psig, corrispondente a un'apertura valvola 0–100%

• Segnali elettronici: ad esempio 4–20 mA oppure 1–5 V
  
  

Nella strumentazione digitale, i segnali sono discreti nel tempo. Il segnale continuo del trasmettitore viene campionato e convertito in digitale da un convertitore analogico-digitale (ADC). Un controllore digitale elabora l’azione di controllo e invia il segnale al dispositivo finale tramite un convertitore digitale-analogico (DAC).

Set-point locale o remoto: Nei controllori digitali, l’operatore assegna il set-point tramite un terminale informatico (set-point locale). Nei vecchi controllori analogici, questo veniva fatto manualmente con una manopola. I controllori digitali moderni possono anche ricevere un set-point remoto (RSP), proveniente da un altro controllore o da un computer di supervisione. I segnali in ingresso e uscita sono pneumatici o elettrici, ma spesso vengono espressi come percentuale dell’intervallo di variazione.

Valvole di controllo: Quando il segnale p(t)p(t) vale il 5%, è fondamentale sapere se la valvola è quasi completamente aperta o chiusa: ciò dipende dal tipo di azione della valvola. In particolare:

• Air-to-open (AO), o fail-closed (FC): l’aria è necessaria per aprire la valvola; in caso di guasto si chiude.

• Air-to-close (AC), o fail-open (FO): l’aria è necessaria per chiuderla; in caso di guasto si apre.

La scelta dell’azione della valvola è dettata esclusivamente da considerazioni di sicurezza, comprese le sezioni a valle dell’impianto. Questa scelta determina il guadagno della valvola:

• Valvola AO → guadagno positivo (aumento del CO comporta aumento del MV)

• Valvola AC → guadagno negativo (aumento del CO comporta diminuzione del MV)

Il tipo di azione influisce sulla logica di funzionamento del controllore.

Controllo ON-OFF

Nel controllo on-off, l’uscita del controllore (CO) assume solo due valori: massimo o minimo. Questo tipo di controllo è anche detto relè o bang-bang. È comune in applicazioni domestiche (termostati in forni, lavatrici, scaldabagni) o in applicazioni industriali non critiche (controllo di livello o temperatura semplice).

Per ridurre la sensibilità al rumore di misura si introduce spesso una banda morta (dead band): se la variabile controllata è all’interno di questa banda, il segnale non cambia anche se si attraversa il set-point. Questo riduce il numero di commutazioni, diminuendo l’usura degli attuatori e le perturbazioni ad alta frequenza.

Il risultato è una risposta ciclica, detta ciclo limite, che si ripete periodicamente nel tempo.

• Tra i vantaggi di questo controllo vi sono la semplicità concettuale, la facilità di implementazione e il basso costo. 

• Svantaggi: Il controllo è impreciso, la variabile controllata non si stabilizza ma oscilla in un ciclo limite. Può generare usura dell’elemento finale di controllo, mitigabile usando una banda morta più ampia, a scapito delle prestazioni.

CONTROLLO PROPORZIONALE (P)

La prestazione del controllore è interamente determinata dal suo unico parametro regolabile: il guadagno del controllore Kc, che deve essere definito mediante una procedura di sintonizzazione o taratura.

Il valore assoluto di Kc determina la sensibilità del sistema alle deviazioni rispetto al set-point. Il segno di Kc determina se il segnale di controllo (CO) aumenta o diminuisce all’aumentare dell’errore ε(t). È importante notare che Kc rappresenta il guadagno del controllore, non quello del processo.

SEGNALI DI INGRESSO E USCITA DEL CONTROLLLORE

• Segnale di ingresso del controllore: ym(t) (PV, proveniente dal trasmettitore)

• Segnale di uscita del controllore: p(t) (CO, inviato alla valvola)

• Set-point: y{sp}
  
  

La legge di controllo per un controllore P è: p(t)=pˉ+Kc⋅ε(t) dove:

• p(t): segnale di uscita del controllore (CO)

• pˉ: bias o valore di reset manuale

• ε(t)=ysp−ym(t): errore di controllo
  
  

IL BIAS DEL CONTROLLLORE: è il valore del segnale di uscita p(t) quando l’errore è nullo. Viene impostato una volta per tutte ponendo il controllore in modalità manuale allo stato stazionario nominale, in cui ε(t)=0 e le perturbazioni si trovano ai loro livelli nominali.

In pratica, il bias corrisponde al segnale di controllo che (in modalità manuale) apre la valvola di controllo in modo che attraverso di essa fluisca la portata nominale della variabile manipolata. Una volta impostato, il bias rimane costante durante il funzionamento in anello chiuso.

GUADAGNO DEL CONTROLLORE E BANDA PROPORZIONALE: Il parametro regolabile del controllore P è il guadagno Kc.

• Nelle implementazioni digitali, Kc è solitamente adimensionale → [(% segnale in uscita)/(% segnale in ingresso)]

• Può avere dimensioni fisiche nelle implementazioni analogiche → [(psi)/(mA)]

• Sono possibili anche situazioni intermedie, come durante la progettazione teorica → [(m³/h)/(°C)]
  
  

Se il guadagno non è adimensionale, generalmente include anche il guadagno di un altro elemento dell'anello di controllo (trasmettitore, valvola). L’assegnazione del valore più appropriato per Kc avviene attraverso la sintonizzazione del controllore. In alcuni casi, viene assegnata la banda proporzionale (PB) invece del guadagno:

• In questo caso, il guadagno dev’essere adimensionale.

• La PB rappresenta l’errore (espresso in % del range della variabile controllata) necessario per spostare il CO dal valore minimo al valore massimo.

• Esempio: se PB = 50%, ε=50% → p=100%, quindi Kc= 2
  
  

SATURAZIONE DELL’USCITA: L’uscita del controllore è soggetta a limiti fisici: p{max}, p{min}. Quando uno di questi limiti viene raggiunto, la valvola è completamente aperta o chiusa. Cause comuni della saturazione:

• Il guadagno Kc è troppo elevato

• La valvola è sovra- o sotto-dimensionata

• Il bias è stato assegnato in modo scorretto

FUNZIONE DI TRASFERIMENTO DI UN CONTROLLLORE P

Il controllore può essere visto come un sistema dinamico che si aggiunge al sistema originale tramite la propria funzione di trasferimento. Definizioni: p′(t)=p(t)−pˉ, ε′(t)=ε(t)

Legge del controllore: p′(t)=Kc⋅ε(t) ⇒ P′(s)=Kc⋅E(s) ⇒ Gc(s)=P′(s)/E(s)=Kc

Il controllore agisce come un “guadagno puro”, cioè il segnale di uscita segue la variazione dell’errore con la stessa forma nel tempo.

LIMITAZIONI DEL CONTROLLO P-ONLY

Il principale svantaggio del controllo proporzionale semplice (P-only) è la presenza di un errore a regime (offset) dopo un cambiamento del set-point o una perturbazione sostenuta.

Se il sistema è a regime con ε≠0, per eliminare l’offset il segnale di controllo pp dovrebbe cambiare. Tuttavia, se ε è costante, la legge di controllo proporzionale non può modificare p, che quindi rimane bloccato.

Per eliminare l’offset in controllo P-only è necessario modificare manualmente il bias, ma tale valore è stato definito una sola volta. È bene ricordare che in certi casi la presenza di un offset è accettabile, ad esempio nel controllo del livello nei serbatoi.

ESEMPIO DI LIMITAZIONE DEL CONTROLLO P-ONLY

Operazione nominale in un serbatoio: perturbazione di 10 kg/h → per mantenere lo stato stazionario, il flusso in uscita deve essere 60 kg/h → bias uˉ=60 kg/h, ε=0

• Nuova perturbazione: 20 kg/h → per il nuovo stato stazionario, il flusso in uscita dovrebbe essere 50 kg/h, ma il bias non può cambiare → si genera un errore ≠ 0

• È il termine Kc⋅ε che fa cambiare uu, ma tanto più alto è Kc, tanto più piccolo sarà l’errore richiesto per compensare la perturbazione

RISPOSTA DEL CONTROLLORE P-ONLY

Quando l’anello è chiuso, l’offset risultante è inferiore rispetto al caso in anello aperto (open-loop), a condizione che il segno di Kc sia corretto. All’aumentare di Kc:

• L’offset diminuisce

• La risposta iniziale è più rapida

• Per valori molto alti di Kc, il sistema può diventare oscillatorio

Nota: se in anello aperto la risposta può sembrare quella di un sistema del primo ordine (FO) o di secondo ordine smorzato (SO), in anello chiuso essa cambia notevolmente.

• Vantaggi: Concettualmente semplice: replica facilmente l’azione di un operatore. Reagisce immediatamente alle variazioni dell’errore. Facile da sintonizzare, si regola un solo parametro (Kc); il bias si assegna in base alle condizioni stazionarie

• Svantaggi: Incapace di eliminare l’offset: in presenza di errore costante, non può modificare l’uscita per riportare il sistema a zero errore

Controllo Integrale (I)

Il controllo integrale è una azione dinamica: il controllore si comporta come un integratore puro. Ciò significa che l’azione di controllo non dipende dal valore istantaneo dell’errore, ma dal suo profilo temporale, ovvero dalla “memoria” dell’errore nel tempo.

• L’azione integrale può eliminare l’offset (errore permanente a regime). L’azione di controllo p(t) continua a variare fintanto che l’errore ε(t)≠0

• Solo se l’errore è zero e costante nel tempo, il segnale di controllo smette di cambiare. 

• A regime e con errore nullo, il termine integrale non si annulla, ma rimane costante. Esso rappresenta una sorta di memoria dell’intera storia degli errori passati, e può essere interpretato come un modo indiretto per correggere il bias in presenza di una perturbazione duratura o di una variazione del set-point.

Tuttavia, l’azione integrale non fornisce una risposta immediata: essa si “accumula” lentamente, per cui l’errore deve persistere a lungo per generare un cambiamento significativo in p(t). Per questo motivo, l’azione integrale viene quasi sempre affiancata a quella proporzionale (controllo PI).

Risposta Proporzionale del Controllore PI

• L’offset viene sempre rimosso grazie al termine integrale.

• Aumentare il guadagno proporzionale Kc​ rende la risposta più rapida, ma può introdurre oscillazioni.

• Valori troppo alti di Kc possono rendere il sistema instabile.
  
  

Aumentare τ (cioè rallentare l’integrazione) rende la risposta più smorzata, ma più lenta. Diminuzioni eccessive di τ​ possono causare instabilità del sistema a ciclo chiuso.

Vantaggi: Elimina l’offset → usato quando l’errore a regime non è accettabile. Accelera la risposta del sistema rispetto alla configurazione in anello aperto.

Svantaggi: La regolazione è più complessa rispetto al solo P, poiché richiede la determinazione di due parametri: Kc e τ​. Può introdurre oscillazioni e, se mal tarato, portare il sistema a instabilità. Il termine integrale può saturarsi (fenomeno noto come reset windup), anche se esistono tecniche per prevenirlo.

Nota finale: circa il 90% dei controllori industriali convenzionali si basa sulla logica PI, grazie al buon compromesso tra semplicità e capacità di eliminare l’errore permanente.

Controllo Derivativo (D)

Agisce sulla variazione dell’errore, anticipando l’andamento futuro del processo.

Non elimina l’offset (errore a regime ≠ 0). Se l’errore è costante, anche l’azione di controllo è costante. Tende a stabilizzare la risposta e riduce il tempo di assestamento. È consigliato per cicli lenti e con misure poco rumorose, come temperatura e composizione.

Rapporto θp/τp

• • Anelli lenti: θp/τp>1→ adatti per azione D.

  • Anelli veloci: θp/τp<0.5 → tipicamente troppo rumorosi (es. portata, pressione).

  • Intermedi: 0.5<θp/τp<1 → dipende dal caso specifico.

Problemi con il rumore: Il rumore rende instabile l’azione derivativa → apertura/chiusura continua della valvola. Soluzioni:

• • • filtrare il segnale di misura

    • attenuare l’azione D

    • eliminare l’azione D
      
      

Implementazione fisica- TRANSFER FUNCTION

• • L’azione derivativa ideale è non realizzabile (impulso infinito in caso di salto dell’errore).

  • Si implementa con un filtro derivativo:
    Gc(s)=τDsα+1,0.05≤α≤0.2 (tipico α=0.1)

Controllo PID

Effetti dell’azione derivativa nel PID: Aumentando τD:

• • • Diminuiscono le oscillazioni dovute all’integrale.

    • Il sistema diventa più rapido (minor tempo di assestamento).

    • Se τD è troppo grande, la risposta peggiora.
      
      

• Vantaggi: Aumenta la velocità del sistema in retroazione. Riduce le oscillazioni rispetto al solo PI.
  
  

• Svantaggi: La sintonizzazione è più complessa (3 parametri: Kc,τI,τD). L’azione D può amplificare il rumore → usura delle valvole. Da evitare in sistemi veloci e/o con misure rumorose.

ISSUES RELATED TO PRACTICAL IMPLEMENTATION OF PID CONTROLLERS 

Picco Derivativo (Derivative Kick)

Quando il set-point subisce una variazione a gradino, anche l’errore ε(t)=ysp(t)−ym(t) cambia bruscamente, generando una discontinuità nella derivata dell’errore.

Questo comporta un impulso nel termine derivativo del controllore PID, causando un picco (kick) nell’uscita p(t). Soluzioni per evitare il picco derivativo:

• Filtrare il set-point tramite un sistema del primo ordine (FO) per attenuare la variazione improvvisa.

• Usare un profilo a rampa al posto di un gradino per la variazione del set-point.

• Derivare solo la misura anziché l’errore:

Nota: un piccolo picco può comunque rimanere a causa dell’azione proporzionale (proportional kick), ma può anch’esso essere ridotto filtrando il profilo del set-point.

Windup del termine integrale (Reset Windup)

Il windup si verifica quando l’attuatore (es. una valvola) raggiunge il limite massimo di apertura, ma il termine integrale continua ad accumulare errore positivo. Esempio:

• Il fluido in ingresso Ti cala improvvisamente. La temperatura in uscita T(t) diminuisce, e il controllore cerca di compensare aprendo la valvola del vapore.

• Quando la valvola è completamente aperta (saturazione), p(t)>100% non ha più effetto.

• L’integrale continua ad aumentare finché l’errore è positivo, anche se l’attuatore è già saturo.

• Quando T(t) supera il set-point, l’errore diventa negativo, ma il controllore impiega tempo a "scaricare" l’integrale accumulato → ritardo nella risposta.
  
  

Soluzione: Bloccare l’integrazione quando l’attuatore è saturo, anziché limitare solo l’uscita p(t). È importante interrompere l’integrazione, non solo saturare l’uscita.

Controllori Direct-Acting e Reverse-Acting

La scelta dell’azione del controllore (diretta o inversa) dipende dalla relazione tra la variabile controllata e l’effetto dell’azione di controllo.

Equazione base del controllore proporzionale:

• Se ym↓⇒ε↑⇒p↑: reverse acting (azione inversa), Kc>0

• Se ym↓⇒ε↑⇒p↓: direct acting (azione diretta), Kc<0
  
  

La selezione corretta dipende da:

• Azione della valvola (es. air-to-open → valvola fail-closed → Kv>0)

• Caratteristiche del processo (es. Kp: guadagno del processo)

Criterio di selezione dell’azione del controllore

Per stabilire se usare un controllore direct o reverse acting, si verifica il segno del prodotto complessivo dei guadagni del loop:

Condizione necessaria: il prodotto complessivo dei guadagni nel loop di retroazione deve essere positivo per garantire stabilità.

CONTROLLORI DIGITALI
La maggior parte delle funzioni nei moderni sistemi di controllo di processo è implementata tramite microprocessori. Sistemi di Controllo Distribuito (Distributed Control Systems, DCS)

I controllori digitali eseguono i calcoli della legge di controllo a intervalli regolari di ampiezza Δt (intervallo di controllo o tempo di ciclo di controllo). Gli strumenti di controllo analogici eseguono invece i calcoli in modo continuo.
 

Ogni volta che deve essere calcolato un nuovo CO (valore di uscita del controllore):

•  Il segnale di misura viene campionato, Il valore del CO viene calcolato tramite la legge di controllo

• Il segnale corrispondente al CO calcolato viene aggiornato e inviato alla valvola. Il segnale CO viene mantenuto costante per un intervallo di tempo pari a Δt

Smith e Corripio (1997):
Δt ≥ T
Δt / T → Attenzione all’aliasing!

IMPLEMENTAZIONE DIGITALE DI UN CONTROLLORE PID

Nell’implementazione digitale, i segnali in ingresso e in uscita del controllore sono discreti (campionati). Finora si è ipotizzato che tutti i segnali fossero analogici (continui).  Approssimazioni per intervallo di controllo costante Δt:

INTERVALLO DI CONTROLLO
In molti casi, la MV (variabile manipolata) viene aggiornata meno frequentemente rispetto alla PV (variabile di processo)

• Intervallo di campionamento ≤ intervallo di controllo

• Per i controllori digitali, Δt è tipicamente tra 0.2 s e alcuni minuti

Nell’industria chimica:
▻ I calcoli della legge di controllo sono effettuati ogni 0.5–1.0 s
▻ I loop regolatori ogni 0.5–2.0 s
▻ I loop supervisori più raramente: da 15 s a minuti

• I loop lenti (livello liquido, temperatura, composizione) tollerano intervalli Δt maggiori

• I loop veloci (portata, pressione liquido) possono essere influenzati negativamente. Per una prestazione simile a quella del controllo continuo:

Δt ≤ 0.05(θp+τp)

QUALI AZIONI DI CONTROLLO USARE?

• Solo P (<5% dei casi): Loop non lenti dove si tollera offset stazionario (es. livello). Il PI con azione integrale molto bassa è simile a P-only

• PI (>90% dei casi): Loop non lenti dove l’offset non è tollerato (es. portata, pressione, talvolta temperatura e composizione)

• PID (≤5%)
  ▻ Loop lenti con offset e tendenza all’oscillazione sotto PI
  ▻ Se θp/τp < 0.5 → non necessario usare D
  ▻ Se θp/τp > 1 → utile la D
  ▻ In presenza di rumore → usare filtro, ma attenzione al ritardo introdotto

• PD: Loop lenti che si comportano da integratori. L’azione I può causare instabilità. Esempio: CSTR esotermico

LOOP DI CONTROLLO COMUNI – PORTATA (FC)
Obiettivo: mantenere la portata al set-point, nonostante variazioni di pressione o cambiamenti del set-point. Il più comune nell’industria chimica (circa 50% nei raffinatori). Spesso con set-point assegnato da controllore superiore (cascade)

Sensore: orifizio calibrato (flangia tarata), elettromagnetico o Coriolis. Ogni blocco rappresenta un sistema dinamico

Le dinamiche del processo e del sensore sono veloci rispetto alla valvola. La valvola determina la dinamica dominante. Complessivamente la dinamica è «quasi statica» (risposta immediata)

• Ordine di grandezza: pochi secondi, senza tempi morti

• Disturbi: frequenti ma piccoli (rumore ad alta frequenza per turbolenze o malfunzionamenti della pompa/valvola). Si usa un PI con forte azione integrale
  ▻ τI = 0.2 – 2.0 s; 0.5 < Kc < 0.7 %/%
  ▻ Azione derivativa non richiesta (processo veloce + rumore amplificato)

Loop di portata lento (casi rari)  Esempio: controllo del flusso di vapore tramite la regolazione del flusso di condensa in un reboiler:

Il flusso di vapore che può essere inviato al reboiler dipende dalla quantità di vapore che può essere condensato.  Ad esempio, un aumento del flusso di vapore implica che una maggiore quantità debba essere condensata. Per ottenere questa condizione, deve essere aumentata l’area di scambio termico disponibile. Di conseguenza, deve essere evacuata una maggiore quantità di condensa (la condensa “sommerge” il mantello del reboiler).
La variazione del livello di condensa (mediante apertura della valvola di scarico) richiede tempo, con una costante di tempo tipica di 3–6 minuti.

Comportamento delle valvole industriali e oscillazioni nel loop di portata

• La maggior parte delle valvole industriali presenta una banda morta significativa, in particolare se di grandi dimensioni.

• Variazioni troppo piccole della pressione di comando (CO) non sono sufficienti a muovere lo stelo della valvola.

• Quando il segnale di pressione raggiunge un livello abbastanza alto, lo stelo “scatta”, provocando una variazione significativa del flusso.

• L’implementazione di un loop di portata porta spesso a un comportamento caratterizzato da oscillazioni ad alta frequenza. Il controllore interviene con alta frequenza, così come l’eventuale posizionatore della valvola.

• Il flusso oscilla attorno a un valore medio ben controllato (cioè il set-point). Il periodo è di alcuni secondi. Tuttavia, il processo controllato ha una costante di tempo di diversi minuti e non risente delle oscillazioni rapide.

• Il processo è sensibile solo al valore medio della portata e introduce di fatto un’azione di filtraggio.
  
  

Loop di controllo del livello (LC)

• L’obiettivo, in questo caso, è mantenere il livello entro un intervallo prefissato, nonostante variazioni del flusso in uscita (che è imposto da un’operazione a valle, detto “wild flow”). Esempio: mantenere il livello tra il 30% e il 40% dell’intervallo del sensore (0% → serbatoio vuoto; 100% → serbatoio pieno).

• Un controllore di livello viene usato per imporre il bilancio di massa nella fase liquida. Mantenere costante il livello equivale a evitare l’accumulo di massa nella fase liquida. A regime, ciò equivale a imporre:  massa in entrata = massa in uscita

• Il bilancio è mantenuto indipendentemente dal valore assegnato al set-point. In genere si tollera un modesto offset (±5%).
  
  

In un sistema reattivo, il livello determina il tempo di residenza nel reattore.

• • Il valore del set-point è quindi critico, e si deve evitare qualsiasi offset (è richiesto tight level control).

  • In tal caso, il controllore di livello determina la conversione, ovvero chiude il bilancio di specie.

Anche nei reboiler e negli evaporatori a circolazione naturale, un controllo preciso del livello è essenziale.

Dinamica del sistema di livello e sensori

• I sensori comuni includono celle di pressione differenziale, galleggianti e radar.

• La dinamica del processo di livello è espressa come variazione percentuale del livello per variazione percentuale della portata in ingresso.

• I sensori e gli attuatori (valvole) sono generalmente molto più veloci rispetto alla dinamica del processo stesso.

• La velocità di variazione del livello dipende dalla portata in ingresso e dalla sezione del serbatoio (non dal livello stesso in caso di flusso gravitazionale).

• Tipicamente, a sistema aperto, una variazione del 10% della portata in ingresso provoca una variazione del 5% del livello in circa 1 minuto.

• È quindi il processo stesso a determinare la dinamica complessiva del sistema.
  
  

Nota sui sistemi integratori

• I sistemi di livello sono generalmente sistemi integratori puri.

• Ciò è dovuto al fatto che la portata in uscita è imposta, ad esempio da un controllore di portata di un processo a valle.
  
  

Controllo PI su sistemi integratori e oscillazioni

Bisogna prestare attenzione nell’uso di controllori PI su sistemi integratori. Aumenti del guadagno del controllore (Kc) possono inizialmente aumentare la stabilità, ma poi generare oscillazioni e instabilità nel lungo periodo.

In genere, l’azione derivativa non viene usata nei controllori di livello.
Le misure di livello possono essere rumorose (liquidi in ebollizione, turbolenze, spruzzi, ecc.).

Controllo del livello nei serbatoi polmone

Spesso si usa un controllore di livello nei serbatoi polmone per disaccoppiare due unità di processo. In tal caso, gli obiettivi sono: Evitare variazioni brusche del flusso in uscita, per non perturbare l’unità a valle. Mantenere il livello entro i limiti superiore e inferiore stabiliti.
livello è lasciato variare in risposta alle perturbazioni in ingresso (è ammessa un’accumulazione temporanea). Controllo “media” del livello. In questo caso, è spesso sufficiente un controllo proporzionale (P). L’azione integrativa tende infatti ad amplificare le perturbazioni, invece di smorzarle.

Tipica taratura: offset al 50% del fondo scala, set-point al 50%, Kc = 2%/%.

In tal modo, la valvola è a metà apertura con il serbatoio mezzo pieno, completamente aperta con livello al 75%, completamente chiusa al 25%.

Controllo della pressione del gas (PC – Pressure Control)

 mantenere la pressione nel serbatoio al set-point.

• Dinamica generalmente rapida, poiché l’apertura della valvola ha un effetto diretto sulla pressione. In alcuni casi (es. controllo della pressione via condensazione), la dinamica può essere lenta per via dei ritardi nella trasmissione termica e nel flusso d'acqua.

• Sensore: capacitivo, molto veloce.

• Attuatore: valvola, relativamente lento.

• Controllo consigliato: PI sufficiente, derivativa non necessaria. In casi con ritardi significativi (es. controllo via condensatore), la risposta è lenta e può non essere adatta a un controllo stretto.

Controllo della temperatura (TC – Temperature Control)
mantenere la temperatura a set-point per garantire un corretto bilancio energetico.

Dinamica dominata dal processo, può essere molto lenta, soprattutto se coinvolti grandi volumi o inerzie termiche.

Problematica in presenza di cambi di fase: la temperatura non è più indicativa del calore scambiato, quindi meglio usare il controllo della pressione in quei casi.

• Sensore: termocoppia o RTD, risposta veloce (6–20 s).

• Attuatore: valvola o pompa per fluido termico, veloce.

• Controllo consigliato:

  • Per sistemi lenti/sluggish, PID completo.

  • Per sistemi più rapidi, PI sufficiente.
    
    

TC o PC?
In alcuni casi (es. condensazione di un vapore puro), il controllo della pressione può essere più efficace del controllo della temperatura perché la pressione è direttamente legata alla quantità di vapore non condensato.

Controllo della composizione (AC – Analyzer Control)
mantenere la composizione desiderata (concentrazione di una specie) per garantire conversione o purezza.

Dinamica del processo: Molto lenta, da minuti a ore, con eventuali ritardi di campionamento.

Sensore: tipicamente analizzatori (GC, NIR, ecc.), con ritardi significativi (3–10 min).

Attuatore: veloce (valvole, pompe).

Controllo: PID o PI, ma il controllo può essere complesso per via del ritardo. Spesso si ricorre a tecniche avanzate (es. controllo predittivo, modellazione dinamica).

9) Interfaccia Controllore/Processo

• Misura della variabile di processo desiderata

• Trasmissione del segnale verso il controllore

• Manipolazione della variabile manipolata (ad es. tramite un attuatore)
  
  

Componenti principali:

• C = Controllore

• M = Sensore di misura

• A = Attuatore (elemento finale di controllo)

Sensori, Trasmettitori e Trasduttori

• Sensore: produce una risposta fisica (elettrica, meccanica, ecc.) in funzione della variabile misurata.
  Esempio: una termocoppia genera un segnale in millivolt proporzionale alla temperatura.

• Trasmettitore: converte il segnale del sensore in un formato standard per il controllore (tipicamente 4-20 mA o 1-5 V DC).

• Trasduttore: converte un segnale da una forma a un’altra.
  Esempio: un trasduttore corrente-pressione (I/P) per convertire il segnale del controllore in un comando pneumatico per una valvola.
  
  

Caratteristiche Statiche dei Sensori

• Range (campo di misura): intervallo tra il valore minimo e massimo misurabile (es. 50-150 °C).

• Zero: valore minimo rilevabile (es. 50 °C → corrisponde a 4 mA).

• Span: differenza tra valore massimo e minimo (es. 100 °C).

• Guadagno del sensore (Km):
   

Caratteristiche Dinamiche dei Sensori

• Dinamica del sensore: rapidità con cui il segnale di uscita segue la variazione reale della variabile misurata.

• Spesso modellato come sistema del primo ordine:
  Gm(s)=Kmτms+1

• Il tempo di risposta del sensore (τₘ) deve essere molto inferiore a quello del processo (τₘ ≪ τₚ), idealmente di almeno un ordine di grandezza.

• Alcune installazioni possono introdurre ritardo temporale (dead time): Esempio: posizionamento scorretto di un pH-metro o utilizzo di strumenti con risposta intrinsecamente lenta (es. gascromatografo).
  
  

Terminologia e Prestazioni dei Sensori

• Accuratezza: differenza tra valore misurato e valore vero (di solito espresso in % del fondo scala o % del valore misurato).
  Precisione: variabilità delle misure ripetute (espressa come deviazione standard o intervallo).
  Più importante dell’accuratezza nel controllo di processo.

• Ripetibilità: stessa definizione di precisione, ma con riferimento allo stesso strumento e alle stesse condizioni.

• Errore sistematico (bias): differenza sistematica tra media delle misure e valore vero, spesso dovuto a installazione scorretta o mancata calibrazione.

• Rangeabilità (turn-down): intervallo operativo entro il quale precisione e accuratezza restano valide.
  Esempio: uno strumento con rangeabilità 20:1 e fondo scala di 100 kg/s è affidabile tra 5 e 100 kg/s.

Final Control Elements

• Le valvole di controllo sono gli attuatori finali più comuni nei processi industriali.

• Altri esempi: pompe a velocità variabile, resistenze elettriche, nastri trasportatori.
  
  

 Componenti di una valvola a stelo

• Corpo (body)

• Sede (seat o seggio)

• Otturatore (plug)

• Stelo (stem)

• Attuatore (actuator)
  
  

Valvole a globo (globe valves)

• L’otturatore si muove ortogonalmente rispetto al flusso.

• Devono essere installate con il flusso che tende ad aprirle → minor stress sulle guarnizioni quando la valvola è chiusa.

Attuatori: Convertono il segnale (pneumatico o elettrico) in movimento dello stelo. Il più comune: attuatori a membrana pneumatici.

• Azione valvola:

  • Direct-acting o Reverse-acting

  • Combinazione con il corpo valvola determina se la valvola è:

    • Air-to-close (aria per chiudere)

    • Air-to-open (aria per aprire)
      
      

Zona morta (deadband)

Percentuale massima di variazione del segnale senza variazione di flusso. Causa: attrito stelo/imballaggio, forze statiche. Valori tipici:

• • Senza posizionatore: 10-25% CO

  • Con posizionatore: ≤ 0.5% CO
    
    

Posizionatore (valve positioner)

Serve a migliorare la precisione del posizionamento dello stelo. È un regolatore proporzionale ad alto guadagno.

• Input: segnale pneumatico/digitale (SP)

• Output: aria allo stelo (MV)

• Misura: posizione stelo (CV)

Opera a frequenze più alte del controllore principale (DCS), tipicamente necessario per i controlli di portata. Riduce significativamente la zona morta.

Rangeability (turndown ratio)

• Definizione: rapporto tra il segnale massimo e minimo che consente modulazione precisa.

• Tipici: 95%/5% = 19, 90%/10% = 9

• Problemi:

  • <5-10% apertura: contatto frequente con la sede → usura.

  • 90-95% apertura: modulazione difficile.
    
    
    

Coefficiente di flusso (Cv, Kv)

Definisce la capacità della valvola di far fluire liquido a fronte di una certa caduta di pressione. Per liquidi incomprimibili:  q=Cvf(ℓ)ΔPvρref

• • Cv: coefficiente di flusso [gpm/psi^0.5]

  • f(ℓ): caratteristica valvola, funzione del sollevamento stelo ℓ
    
    

• Relazione con sistema metrico: Kv=0.865⋅Cv

• Maggiore è il Cv richiesto, maggiore deve essere la sezione della valvola → costi più alti.

Il materiale che hai riportato riguarda la scelta e il dimensionamento delle valvole di controllo in un impianto, con particolare attenzione alla caratteristica intrinseca di flusso, all’interazione tra pompa, linea e valvola, e al compromesso tra ingegneria di processo e ingegneria di controllo. Di seguito una sintesi strutturata e oggettiva dei concetti chiave:

1. Scelte fondamentali nella selezione della valvola

• Dimensionamento della valvola: scegliere il corretto valore di Cv, che dipende da: Cv=qfℓΔPvρrel

• Caratteristica della valvola: da scegliere tra:

  • Lineare

  • Equal percentage (più comune per il controllo)

  • Quick opening
    
    

2. Effetto della caduta di pressione ΔPv\Delta P_v sulla valvola

• La ΔPv\Delta P_v disponibile per la valvola è una frazione della forza motrice totale: ΔPdrive=ΔPv+ΔPlinea

• La forza motrice può essere data da:

  • Altezza liquido (quasi costante)

  • Pompa centrifuga (decrescente con qq, a meno di curva piatta)
    
    

3. Interazione tra pompa, linea e valvola

• Se la valvola è più piccola, aumenta la ΔPv\Delta P_v a pari portata → più perdite per attrito

• Se si chiude la valvola:

  • Aumenta ΔPv

  • Diminuisce ΔPlinea

• In condizioni reali, la caratteristica installata della valvola è diversa da quella intrinseca (costante ΔPv)
  
  

4. Conflitto tra ingegneria di processo e ingegneria di controllo

Process Engineer

Control Engineer

Preferisce bassa ΔPv → pompa più economica

Preferisce alta ΔPv → maggiore rangeabilità

Valvola grande, Cv alto

Valvola piccola, Cv basso

5. Esempio numerico. Due casi con stessa portata nominale q=100 gpm e fℓ=0.5

Caso 1: bassa ΔPv=20 psi

• Cv1=1000.520=44.7 [gpmpsi0.5]

• Pompa richiede: ΔPpompa=150+40+20=210 psi
  
  

Caso 2: alta ΔPv=80 psi

• Cv2=1000.580=22.4

• Pompa richiede: ΔPpompa=150+40+80=270 psi
  
  

6. Comportamento a valvola completamente aperta ( fℓ=1.0 )

• La portata qq aumenta → aumento delle perdite per attrito nella linea ΔPlinea∝q2

• Se la pompa ha curva piatta → ΔPv deve diminuire (più perdita nella linea, meno nella valvola)

Per scegliere la caratteristica intrinseca (o "inherent characteristic") più adatta di una valvola di regolazione, bisogna valutare principalmente la variazione della caduta di pressione attraverso la valvola ∆Pᵥ in funzione della portata e come questa si confronta con la caduta di pressione nella linea del processo. Le considerazioni chiave sono:

Se ∆Pᵥ è praticamente costante:

• Una valvola con caratteristica lineare è ideale.

• Esempio tipico: vapore fornito da un collettore ad alta pressione con utilizzatori a pressione più bassa → la ∆Pᵥ domina la ∆P totale → guadagno quasi costante → buona regolazione lineare.
  
  

Se ∆Pᵥ varia molto con la portata:

• Circa il 90% dei casi industriali.

• La caratteristica installata (cioè come la valvola si comporta realmente in campo) di una valvola lineare risulta non lineare.

• Una valvola a percentuale equa (equal percentage) offre una caratteristica installata quasi lineare.

  • Questo perché compensa le variazioni di ∆Pᵥ con la portata.

  • È progettata per mantenere un guadagno costante anche se ∆Pᵥ cambia.
    
    

Se serve una risposta rapida a piccole aperture:

• Si sceglie una valvola a apertura rapida (quick opening).

• Esempi: valvola di sicurezza, by-pass di emergenza per raffreddamento.
  
  

Per controllo in retroazione (feedback control):

• È importante un guadagno costante lungo tutta la corsa della valvola.

• L’obiettivo è che piccole variazioni della posizione della valvola producano variazioni proporzionali della portata → maggiore stabilità e precisione.

• Questo si ottiene con una valvola a percentuale equa, non con una quick opening.
  
  

Linea guida pratica:

• Se il rapporto, allora è preferibile una valvola a percentuale equa.

• Se la ∆Pᵥ è pressoché costante, si può scegliere una valvola lineare.

10) Dynamic behavior and stability of closed-loop control systems 

Il comportamento dinamico e la stabilità dei sistemi di controllo in retroazione (closed-loop) possono essere compresi a partire dalle proprietà fenomenologiche osservate. 

• L'azione proporzionale (P) accelera la risposta del sistema ma non è in grado di eliminare l'errore a regime (offset).

• L'azione integrativa (I), invece, può correggere l'offset ma tende a introdurre oscillazioni indesiderate. 

• L'azione derivativa (D) contribuisce ad accelerare la risposta e a smorzare le oscillazioni causate dall'integratore. 

È noto, inoltre, l’effetto qualitativo dei parametri di regolazione Kc, τI e τD. Per formalizzare questi comportamenti e generalizzarne l'interpretazione, è utile ricavare la funzione di trasferimento ad anello chiuso (CLTF), che descrive la risposta del sistema in funzione delle dinamiche dei singoli componenti del loop: processo, disturbo, sensore/trasmettitore, controllore, convertitore corrente-pressione (I/P) e valvola. Ciascun blocco può essere descritto da una funzione di trasferimento, e l’uso dell’algebra dei blocchi consente di determinare la funzione complessiva.

Il sensore o trasmettitore può essere approssimato con un sistema del primo ordine, con guadagno Km e costante di tempo τm. 

• In molti casi, τm è trascurabile rispetto alla dinamica del processo, permettendo di considerare il sensore come un guadagno puro. 

• Alcuni strumenti, come i gascromatografi, sono invece meglio rappresentati con un tempo morto.

Per il controllore, affinché il confronto tra segnale misurato e setpoint sia coerente in unità fisiche (ad esempio [mA]), il setpoint deve essere convertito mediante il guadagno Km del trasmettitore. Un controllore analogico, ad esempio un PI, produce un segnale di uscita in [mA] sulla base dell’errore in ingresso, e il guadagno del controllore risulta adimensionale.

Il convertitore corrente-pressione (I/P) ha una risposta statica e lineare, e può essere rappresentato semplicemente come un guadagno puro, KIP. (dinamica veoce, trascurabile)

la valvola di controllo può essere descritta con un sistema del primo ordine con guadagno Kv e costante di tempo τv di pochi secondi, solitamente trascurabile rispetto a quella del processo. Spesso I/P e valvola vengono modellati congiuntamente in un unico blocco Gv.

Il diagramma complessivo del sistema di controllo mostra la sequenza di blocchi interconnessi che vanno dal setpoint all’uscita del processo, passando attraverso sensore, controllore, attuatore e valvola, fino al processo stesso, includendo anche l’azione dei disturbi. Questa struttura consente di analizzare formalmente il comportamento del sistema ad anello chiuso e studiarne la stabilità e la risposta dinamica.

A loop chiuso, gli ingressi indipendenti diventano D e Ysp. A loop aperto, D e U.

ALTERNATIVE EQUIVALENT REPRESENTATIONS 

La funzione di trasferimento ad anello chiuso (Closed-Loop Transfer Function, CLTF) permette di descrivere formalmente il comportamento dinamico di un sistema di controllo in retroazione.

Esistono due principali configurazioni di analisi: quella relativa alla variazione del set-point (problemi di tipo servo) e quella dovuta a variazioni dei disturbi (problemi di tipo regulatory).

Dove GOL=GcGvGpGm rappresenta la funzione di trasferimento dell’anello aperto, ottenuta aprendo il loop prima del comparatore.

Dal punto di vista della struttura, si distinguono un cammino diretto (forward path), che va dal set-point o dal disturbo fino all’uscita del processo, e un cammino di retroazione (feedback path), che include sensori, trasmettitori e il comparatore. 

Il guadagno dell’anello aperto, GOL, risulta adimensionale se espresso in modo coerente, ad esempio considerando l’uscita come temperatura in funzione della portata manipolata da un controllore in percentuale.

Una formulazione più generale della CLTF prevede che una qualsiasi variabile ZZ interna al loop, influenzata da un ingresso Zi, sia descritta come:

 dove ∏f rappresenta il prodotto delle funzioni di trasferimento lungo il percorso diretto da Zi a Z, e ∏e il prodotto delle funzioni di trasferimento presenti nel ciclo di retroazione. È importante che la retroazione sia negativa affinché questa formulazione sia valida. Il denominatore della CLTF (che è l’equazione caratteristica del sistema) dipende dalla funzione del controllore, motivo per cui la risposta ad anello chiuso può essere modificata agendo sul controllore stesso.

Il denominatore della CLTF contiene Gc(s), ovvero il TF del controllore. Questo è il motivo per cui la risposta in anello chiuso può essere modificata rispetto a quella in anello aperto. La risposta può essere modellata regolando il controllore (o modificando il TF del controllore, che potrebbe non essere necessariamente quello di un controllore PID).

Infine, dal punto di vista della stabilità, la posizione dei poli della funzione di trasferimento nel piano complesso fornisce informazioni fondamentali: poli complessi coniugati (con parte immaginaria non nulla) indicano risposte oscillanti, mentre un polo sull’origine (integratore) implica un comportamento asintotico senza offset. Poli con parte reale positiva indicano instabilità. Più un polo è distante dall’asse immaginario, più rapida sarà la dinamica associata.

Sistema del primo ordine (FO, First-Order) controllato tramite un regolatore proporzionale (P controller)

La risposta in anello chiuso mantiene la natura di primo ordine. Questo vale sia per una variazione del set-point (servo response) che per una perturbazione (disturbance rejection). Considerando il sistema di trasferimento del processo come 𝐺p include la dinamica e i guadagni complessivi del loop (tranne quelli del controller)

Questo implica che, sebbene la dinamica del sistema risulti accelerata (riduzione della costante di tempo), a causa del fatto che K1<1, la variabile di uscita non riesce a raggiungere completamente il set-point, generando un offset permanente. In particolare, per un ingresso a gradino unitario Ysp(s)=1s​, la risposta finale risulta:

--> Passando all’analisi della reiezione del disturbo

 la costante di tempo τ1 rimane la stessa. In questo caso, anche se il disturbo viene in parte attenuato, non è possibile azzerarlo completamente, generando un offset. Per un disturbo a gradino unitario D(s)=1s​, la risposta a regime risulta:

Pertanto, aumentando il guadagno proporzionale Kc​, è possibile ridurre sia l’offset dovuto al set-point che quello dovuto ai disturbi, pur mantenendo il sistema stabile (per KOL>0). Tuttavia, resta sempre presente un errore a regime non nullo, che può essere eliminato solo introducendo un’azione integrativa nel controllore. Infine, va notato che la struttura in retroazione con solo controllo P mantiene la natura FO del sistema anche in anello chiuso, e che le espressioni derivate sono valide purché tutte le dinamiche (di processo e disturbo) siano di primo ordine.

Se le uniche dinamiche del sistema sono quelle del processo e della perturbazione, e se sono tutte FO (𝐾p; kd, 𝜏p), allora le CLFT per un controllore solo P sono (per una variazione a gradino di ampiezza M):

Generalizzazione delle funzioni di trasferimento in anello chiuso (CLTF) sotto controllo PI: servo response 

• Se il ciclo viene chiuso con un controllore PI, la risposta a ciclo chiuso ha un numeratore FO e un denominatore SO → la dinamica del sistema a ciclo chiuso diventa SO con la dinamica del numeratore.

•  L'effetto netto del controllo P-only era invece quello di modificare solo i parametri del sistema, mantenendo FO la risposta.

•  Un controllore PI, invece, aggiunge un polo e uno zero alla risposta del sistema a ciclo chiuso (per un sistema FO).

• Poiché la CLTF ha uno zero, la risposta a ciclo chiuso potrebbe presentare un overshoot.

•  Se le due radici p1 e p2 sono reali e negative, la risposta raggiunge esponenzialmente un valore finale A0.

•  Se le due radici p1 e p2 sono complesse coniugate e con parte reale negativa, la risposta sarà oscillante, ma le oscillazioni alla fine si esauriscono (risposta sottosmorzata).

•  Se almeno una delle radici è reale e positiva (o le radici sono complesse con parte reale positiva), la risposta non si stabilizzerà su un valore finale, ma divergerà (eventualmente con oscillazioni).

Nel caso di un controllore PI, il cui modello è Gc(s)=Kc(1+1τIs) considerazioni simili a quelle dei sistemi del primo ordine valgono anche per sistemi di ordine superiore. L’azione integrativa modifica l’ordine della risposta del sistema. Per un qualsiasi sistema dinamico Gp(s) con guadagno statico Kp, si osserva che:

(i) sotto controllo solo proporzionale, la risposta in anello chiuso presenta sempre un errore permanente (offset); 

(ii) l’azione integrativa può eliminare l’errore a regime, purché il disturbo o il cambio di set-point siano sostenuti; 

(iii) un aumento del guadagno del controllore Kc rende la risposta più oscillatoria.

Considerazioni simili valgono anche per sistemi di ordine maggiore di 1.

L'azione integrale modifica l'ordine della risposta del sistema.

Per qualsiasi sistema dinamico Gp(s) con guadagno a regime stazionario Kp, vale quanto segue:

• La risposta a ciclo chiuso sotto controllo di retroazione solo proporzionale mostra sempre un offset.

• L'azione integrale può eliminare l'offset a regime stazionario dalla risposta a ciclo chiuso, a condizione che il disturbo o la variazione del setpoint siano sostenuti.

• Aumentando il guadagno del controllore Kc la risposta diventa più oscillatoria.

Stabilità di un sistema controllato

Un sistema lineare non vincolato si dice stabile se la risposta in uscita è confinata per ogni ingresso confinato; in caso contrario, è instabile. Molti sistemi fisici sono stabili in anello aperto (cioè si autoregolano), raggiungendo un nuovo stato stazionario a seguito di un cambiamento sostenuto dell’ingresso. Tuttavia, alcuni processi reali sono instabili in anello aperto e richiedono un controllo a retroazione per poter essere operati, come ad esempio certi livelli (integratori puri) o reattori esotermici con camicia di raffreddamento. È importante notare che anche se un processo è stabile in anello aperto, potrebbe diventare instabile quando viene chiuso il loop di controllo.

Effetto del controllore sulla risposta

anche con controllo puramente proporzionale esiste un valore limite del guadagno del controllore, detto guadagno critico Kcu, oltre il quale la risposta diventa instabile. Tuttavia, non per tutti i processi tale valore limite esiste.

Amplificazione del segnale nel loop

In alcuni sistemi, le variazioni del segnale si amplificano nel circuito di retroazione, anche con solo controllo proporzionale, generando oscillazioni che possono diventare illimitate per ingressi confinati. Nella realtà, limiti fisici come l’escursione di una valvola o la resistenza meccanica di un’apparecchiatura limitano l’ampiezza delle oscillazioni o causano danni strutturali. È pertanto fondamentale sapere se per un dato sistema esiste un guadagno limite e, se sì, saperlo calcolare.

Equazione caratteristica e risposta del sistema

Risposta forzata e non forzata

Ogni termine della risposta non forzata contiene un polo della CLTF. La velocità con cui y(t) decade o diverge dipende esclusivamente dai poli del sistema in anello chiuso. In particolare, poli reali con parte reale positiva (pk>0) rendono la risposta non limitata (instabile). Per poli complessi pk=σ±jω, la risposta è instabile e oscillante. Quindi, la stabilità del sistema chiuso dipende dai poli dell’equazione caratteristica 1+GOL(s)=0.

Risposta in anello chiuso e condizioni di stabilità

Nel sistema di controllo in retroazione (anello chiuso), la stabilità dipende dalla posizione dei poli dell'equazione caratteristica. I poli reali pk determinano un'esponenziale del tipo e^pkt. Se anche solo uno di essi è positivo (pk>0), il termine esponenziale diverge e di conseguenza anche la risposta del sistema y(t) diventa illimitata, rendendo il sistema instabile.

Se i poli sono complessi coniugati, ovvero pk=σ±jω, la risposta assume la forma e(σ±jω)t=eσt⋅e±jω. Anche in questo caso, se la parte reale σ>0sigma > 0, il modulo della risposta cresce indefinitamente, portando a instabilità oscillatoria.

In generale, un sistema in anello chiuso è stabile se e solo se tutte le soluzioni (cioè i poli dell'equazione caratteristica) hanno parte reale negativa (se complessi) o sono negativi (se reali). Se anche solo una radice si trova nel semipiano destro del piano complesso, il sistema diventa instabile.

La posizione dei poli determina anche la rapidità della risposta transitoria:

• Maggiore è la distanza dei poli (reali) dall’asse immaginario verso sinistra, minore è la costante di tempo τ=−1/a, e più rapida sarà la risposta del sistema.

• I poli prossimi all’asse immaginario determinano le risposte lente (dominanti).

• Maggiore è la distanza dei poli complessi dall’asse reale, più marcata sarà l’oscillazione nella risposta transitoria.
  
  

Va notato che la posizione dei poli dipende dal controllore Gc, e che le condizioni di stabilità valgono anche in presenza di disturbi di carico e poli ripetuti. Se il sistema include elementi non lineari o ritardi puri (ad esempio dead time), è necessario approssimarli (ad esempio tramite l’approssimazione di Padé), oppure analizzare la stabilità mediante tecniche in frequenza.

Infine, è importante ricordare che gli elementi dinamici esterni all’anello di controllo non influenzano la stabilità del sistema controllato.

Equazione caratteristica del sistema in retroazione

La stabilità di un sistema in retroazione è determinata dall'equazione:

1+Gc(s)Gv(s)Gp(s)Gm(s)=0

Dove:

• Gc(s): controllore

• Gp(s): processo

• Gv(s): eventuali altri elementi nel loop (valvole, misuratori, ecc.)
  
  

Stabilità e parametri del controllore

Scegliendo opportunamente il controllore Gc(s), è possibile spostare le soluzioni dell’equazione caratteristica del sistema in anello chiuso lungo il piano complesso. Idealmente, si desidererebbe che esse si trovassero il più a sinistra possibile.
Per alcune scelte dei parametri di taratura di Gc​, una soluzione (o una coppia di soluzioni complesse) può attraversare l’asse immaginario (da sinistra verso destra). È per questo motivo che il sistema può diventare instabile per alcune scelte dei parametri di taratura!

• Equazione caratteristica: 1+GcGvGpGm=0

• Se si utilizza un controllore solo proporzionale (P-only), il guadagno critico (o «ultimate gain») Kcu​ corrisponde a una coppia di soluzioni esattamente poste sull’asse immaginario (condizione di stabilità marginale).
  ▻ Più in generale, se il controllore include anche l’azione proporzionale, il termine guadagno massimo Kcm viene utilizzato per indicare il valore massimo che Kc può assumere prima che il sistema in anello chiuso raggiunga per la prima volta la condizione di stabilità marginale.

Il termine "massimo" si riferisce ai controllori ad azione inversa (Kc>0); per i controllori ad azione diretta (Kc<0) esiste invece un valore minimo di Kc.

Condizione di stabilità marginale

Per Kc=Kcu, esiste una coppia di soluzioni sull’asse immaginario:
pk=±jωu

Questo porta a una risposta del tipo: yk(t)=Akcos⁡(ωut)+jsin⁡(ωut) 

Il sistema è periodico, non cresce né si smorza → stabilità marginale

Come trovare Kcu: Metodo della sostituzione diretta

• L'equazione caratteristica del ciclo sarà un polinomio in s.  Nelle sue soluzioni, 𝐾c appare come parametro. Dobbiamo trovare il valore 𝐾c = 𝐾cu che fa sì che la «prima» coppia di radici complesse attraversi l'asse immaginario

•  Se l'equazione caratteristica è fino al secondo ordine, le radici possono essere trovate analiticamente. Quindi si può eseguire uno studio parametrico in 𝐾c per trovare quando la parte reale delle radici si sposta da sinistra a destra attraversando l'asse immaginario

•  Se l'equazione caratteristica è di terzo ordine o superiore, trovare le radici analiticamente è difficile o impossibile. Tipicamente evitiamo di trovare l'intero insieme di radici e ci concentriamo solo sulla prima coppia di esse che attraversa l'asse immaginario. In particolare, cerchiamo il valore di 𝐾c che fa sì che ciò accada

▻ Metodo di sostituzione diretta → lasciando 𝑠 = 𝑗𝜔 nell'equazione 1 + GOL = 0 (ovvero, imponendo a una coppia di radici di giacere sull'asse immaginario), si ottiene un'equazione complessa in cui s scompare e le incognite sono 𝐾cu e 𝜔u. Azzerando sia la parte reale che quella complessa di questa equazione, si ottengono due equazioni reali che permettono di ottenere i valori di 𝐾cu e 𝜔u. Se si trovano soluzioni periodiche in 𝜔, la soluzione corretta è quella che porta al valore assoluto più piccolo di 𝐾cu (con segno corretto).

Effetto del tempo morto

• Se il processo include un tempo morto θp (frequente in impianti reali), questo può essere approssimato con Padé di ordine 1:

• La presenza del tempo morto riduce la stabilità: il sistema diventa instabile per valori di Kc più piccoli rispetto al caso senza tempo morto. Evitate tempi morti nei cicli di controllo del feedback!!!