MOTO ROTATORIO

DINAMICA del moto rotatorio:

1. Come i corpi si mettono in rotazione?

2. Qual è la migliore idea di descrivere il moto?

La dinamica del moto rotatorio si occupa dello studio del movimento di corpi che ruotano intorno ad un asse. In questo tipo di movimento, la grandezza fisica che gioca un ruolo fondamentale è il momento angolare, che rappresenta la quantità di moto rotazionale del corpo. E' definito come il prodotto tra il momento di inerzia del corpo e la sua velocità angolare, ovvero:

L = I * ω

dove L è il momento angolare, I è il momento di inerzia del corpo e ω è la velocità angolare del corpo.

Il momento di inerzia è una grandezza fisica che rappresenta la resistenza di un corpo al cambiamento di velocità angolare. Si può considerare come l'equivalente rotazionale della massa in un sistema di traslazione. Il momento di inerzia dipende dalla distribuzione di massa del corpo e dalla sua geometria rispetto all'asse di rotazione.

La dinamica del moto rotatorio può essere descritta utilizzando la seconda legge di Newton per il momento angolare, che afferma che la variazione del momento angolare di un corpo è uguale alla somma dei momenti torcenti esterni che agiscono su di esso:

ΔL = ∑τ esterni

dove ΔL è la variazione del momento angolare e ∑τ esterni è la somma dei momenti torcenti esterni che agiscono sul corpo.

Il momento torcente, o momento di forza, rappresenta la tendenza di una forza a far ruotare un corpo intorno all'asse di rotazione. Dipende dalla forza che agisce sul corpo e dalla sua distanza dall'asse di rotazione. In particolare, è dato dal prodotto tra la forza e la distanza dall'asse di rotazione:

τ = F * r

dove τ è il momento torcente, F è la forza che agisce sul corpo e r è la distanza dall'asse di rotazione.

Per quanto riguarda la descrizione del moto rotatorio, la migliore idea è quella di utilizzare la cinematica e la dinamica, ovvero descrivere la posizione, la velocità e l'accelerazione angolare del corpo utilizzando le equazioni del moto rotatorio, e descrivere le forze che agiscono sul corpo utilizzando la seconda legge di Newton per il momento angolare. Infine, per quanto riguarda il calcolo del momento angolare, esso può essere calcolato a partire dalla velocità angolare e dal momento di inerzia del corpo, utilizzando l'equazione:

L = I * ω

dove I è il momento di inerzia del corpo e ω è la velocità angolare del corpo. Il momento di inerzia dipende dalla geometria del corpo e dalla distribuzione di massa rispetto all'asse di rotazione, e può essere calcolato per diverse forme e configurazioni di corpi utilizzando le formule matematiche appropriate.

Conservazione momento angolare:

M=0 allora L è costante, se non agiscono forze esterne è isolato. Rispetto ad un preciso polo anche con forze esterne potrebbe non conservarsi P ma L

Sistema riferimento centro di massa:

• origine nel centro di massa

• assi del riferimento mantengono sempre la stessa direzione rispetto ad un sistema inerziale

Teorema di Koning:

In un sistema di riferimento inerziale il momento angolare complessivo si può scrivere come:

• Se sono forze interne o esterne conservative Wi= -deltaUi e We= -deltaUe

• Se sono tutte conservative: W= dK=Du

• Se solo una parte è conservativa: Eb-Ea = (Kb+Ub) – (Ka+Ua)

L’energia meccanica è data dalla somma dell’energia cinetica e potenziale. In un sistema isolato agiscono solo forze conservative.

• Se Re = sommatoria dei Fext =0 si conserva P

• Se M = sommatoria text =0 si conserva L

• Se tutte le forze sono conservative si conserva E

EQUILIBRIO STATICO DI UN CORPO RIGIDO

Corpo indeformabile--> ideale 

Corpo rigido-->la distanza tra due punti qualsiasi del corpo esaminato rimane costante

​Centro di gravità o baricentro: giustifica il fatto che dobbiamo applicare la forza peso di un corpo nel centro di massa. Vale per sistemi di forze parallele e uniformi e il baricentro è una buona approssimazione del centro di massa sulla superficie terrestre. Un sistema di forze parallele equivale ad una coppia se il vettore risultante è nullo, ad una sola forza se è diverso da zero’. Il baricentro è definito come il centro delle forze parallele per un corpo. In altre parole i pesi dei singoli punti materiali di cui è costituito un corpo, sono un sistema di forze parallele il cui centro è appunto il baricentro G

L'equilibrio di un corpo rigido, inteso come equilibrio statico, è una condizione per cui il corpo non è soggetto ad alcuna traslazione né ad alcuna rotazione, e si verifica quando la somma delle forze esterne e la somma dei momenti delle forze esterne sono entrambe nulle. 

--> Nel caso di forze complanari abbiamo che giacciono sullo stesso piano e quindi posso trascurare Fy, Fx, tz.

Momento vettoriale di una forza rispetto ad un'origine

Il prodotto vettoriale di una forza può essere utilizzato per dare una definizione generale del momento come grandezza vettoriale. Con una forza F applicata ad un punto P identificato dal vettore r rispetto all’origine. t= r x F.

​

Relazione tra la velocità di un punto e la velocità angolare

Se consideriamo un punto P in moto circolare e velocita angolare W, con @ radianti avremo che: v= w x R, con R raggio che non varia nel tempo.

CINEMATICA

CINEMATICA DEL MOTO ROTATORIO DEL CORPO RIGIDO

Si occupa dello studio del movimento di un corpo rigido che ruota intorno ad un asse fisso. In questo tipo di movimento, la grandezza fisica che gioca un ruolo fondamentale è la velocità angolare, che rappresenta la velocità di rotazione del corpo intorno all'asse di rotazione.

In un corpo rigido, tutti i punti del corpo si muovono su cerchi concentrici intorno all'asse di rotazione. Tuttavia, la velocità di ogni punto è diversa, a meno che il corpo non stia ruotando come un solido rigido, in cui tutti i punti si muovono con la stessa velocità angolare. In questo caso, la velocità angolare può essere descritta da un unico vettore, che rappresenta la velocità di rotazione del corpo.

Per descrivere il moto rotatorio di un corpo rigido, sono necessari sei parametri, ovvero tre per descrivere la posizione del corpo nel suo moto traslatorio e tre per descrivere la sua rotazione intorno all'asse di rotazione. Questi sei parametri sono noti come gradi di libertà, o degrees of freedom (DOF), e rappresentano i parametri necessari e sufficienti per descrivere completamente lo stato del corpo.

L'energia cinetica rotazionale di un corpo rigido è data dalla somma delle energie cinetiche di tutti i suoi punti. L'energia cinetica di un punto è data da 1/2 mv^2, dove m è la massa del punto e v è la sua velocità. Per un corpo rigido che ruota intorno all'asse di rotazione, l'energia cinetica rotazionale è data da 1/2 Iω^2, dove I è il momento di inerzia del corpo e ω è la sua velocità angolare. Il momento di inerzia rappresenta la resistenza del corpo al cambiamento di velocità angolare e dipende dalla geometria del corpo e dalla distribuzione di massa rispetto all'asse di rotazione.

Il momento di inerzia può essere calcolato per diverse forme e configurazioni di corpi utilizzando le formule matematiche appropriate. Ad esempio, per un corpo rigido di forma sferica con massa M e raggio R che ruota intorno all'asse di simmetria, il momento di inerzia è dato da 2/5 MR^2.

Teorema assi paralleli o di Huggens-Steiner: Il momento d'inerzia rispetto ad un asse a, parallelo ad un altro c passante per il centro di massa, si ottiene sommando al momento di inerzia iniziale rispetto a c il prodotto tra la massa del corpo stesso e il quadrato della distanza tra gli assi c ed a.

Rotolamento di un corpo rigido:

1) Puro rotolamento

2) Rotolamento e parziale strisciamento: k=1/2 mv^2 + Icm W^2

3) Solo strisciamento: wc =0 e quindi k=1/2 mv^2 (energia cinetica)

Dinamica della rotazione dei corpi rigidi:

Si definisce momento assiale di una forza rispetto a un asse passante per un punto la componente perpendicolare del momento polare su un particolare asse, detto asse centrale (z). 

La seconda legge di newton per un corpo rigido soggetto ad un moto traslatorio è: sommatoria Fext = M*a e sommatoria tz = I αz.

Un corpo rotante è in condizione di equilibratura statica quando il suo baricentro è posto sull'asse di rotazione.

-->Per pianeti: La conservazione nel caso di forze centrali (pianeta attratto dal sole): ts= r x F=0 e si ha L= r x m v= r m v sin@ à va ra =vp rp  e va>vp. Una forza viene detta centrale se ha sempre la direzione della retta che congiunge il corpo dal punto e dipende solo dalla distanza.

Rotolamento senza strisciamento: v= Rw

Solo strisciamento: k=1/ mv^2

vp=vo + w x r

Lavoro ed energia:   dW= F dSà W= ½ I*wf2 – ½ I*wi2                       P= dW/dt = F*v              K= ½ m*v^2+ ½ I w^2               W= integrale  v dt + integrale  W dt

Moto del giroscopico

Domande:

1. Momento angolare di una particella rispetto a un'origine (polo) e relazione con il momento risultante delle forze (seconda legge di Newton in forma angolare)

2. Momento angolare totale di un sistema di particelle, e relazione con i momenti delle forze applicate (seconda equazione cardinale per il moto dei sistemi).

3. Condizioni per la conservazione del momento angolare per sistemi di particelle.

4.  Sistema di riferimento del centro di massa, proprietà notevoli. Teoremi di Koenig.

5. Teorema dell'energia cinetica per un sistema di particelle. Lavoro delle forze interne ed esterne. Energia meccanica, conservazione e non conservazione. Considerazioni per sistemi isolati.

6. Momento di una forza rispetto ad un asse (momento assiale di una forza); condizioni per l'equilibrio statico dei corpi rigidi nel caso di forze complanari

7. Condizioni per l'equilibrio statico dei corpi rigidi nel caso generale (forze non complanari)

8. Baricentro o centro di gravità di un corpo (gravità: caso particolare di un sistema di forze parallele)

9. Momento vettoriale di una forza rispetto ad un'origine (polo) e relazione tra momento vettoriale e momento assiale.

10. Rotazione di un corpo rigido attorno ad un asse fisso: posizione angolare, spostamento angolare, velocità angolare (scalare e vettoriale), accelerazione angolare (scalare e vettoriale). Relazioni tra variabili (posizione, velocità, accelerazione) angolari e lineari.

11. Energia cinetica rotazionale e definizione di momento d'inerzia di un corpo rigido rispetto ad un asse

12. Calcolo del momento d'inerzia rispetto ad un asse di corpi continui (p.es. di un'asta o di un disco) e teorema degli assi paralleli

13. Cinematica del moto vincolato di puro rotolamento ed espressione dell'energia meccanica nel moto di rotolamento (roto-traslatorio)

14. Definizione di momento assiale di una forza e seconda legge di Newton in forma angolare per un corpo rigido con asse fisso di rotazione; esempi.

15. Dinamica della rotazione di un corpo rigido intorno ad un asse fisso come caso particolare della seconda equazione cardinale del moto dei sistemi): momento angolare ed equazione del moto; equilibratura di corpi in rotazione.

16. Dinamica del rotolamento: forze applicate ed equazioni del moto per la traslazione del centro di massa e per la rotazione attorno ad un asse passante per il centro di massa o per il punto di contatto.

17. Lavoro e potenza per le forze applicate ad un corpo rigido vincolato ad un asse fisso di rotazione; espressione angolare del teorema dell'energia cinetica.

18. Condizioni per la conservazione del momento angolare per corpi rigidi. Fare un esempio di applicazione a piacere (urti con corpi vincolati ad un asse, forze centrali, terza legge di Keplero, velocità areale, etc.).

19. Moto di precessione del giroscopio: velocità angolare di precessione