COULOMB E GAUSS

La capacità di alcuni materiali come l’ambra, una resina naturale, o il vetro quando strofinati sulla lana di attrarre piccoli pezzi di carta era nota sin dall’antichità, anche se il fenomeno fu compreso correttamente solo in tempi recenti:

• Platone, nel 4° secolo a.C. considerava l’origine di tali effetti simile a quella dei fenomeni magnetici e cercò di comprendere tali fenomeni.

• Nel 1° secolo a.C. Lucrezio ipotizzava che la resina strofinata emetteva dei fluidi in grado di rarefare l’aria per cui l’aria più densa tendeva a spingere i corpi verso il vuoto parziale prodotto da tali fluidi.​

• All’inizio del 16° secolo si sapeva che oltre all’ambra ed al vetro altri materiali manifestavano analoghi comportamenti e le teorie che ritenevano l’aria il vettore del fenomeno elettrico furono smentite intorno al 1675 quando Robert Boyle, utilizzando una pompa a vuoto, provò che questi fenomeni persistevano all’assenza dell’aria

• Nel 1600 William Gilbert, medico personale della regina Elisabetta I, nel suo libro De Magnete compilò una lista dei materiali che godevano di tale capacità e introdusse l’aggettivo elettrico per indicare questa classe di fenomeni.

I fenomeni elettrici e magnetici sono strettamente connessi tra loro, ma in condizioni di equilibrio elettrostatico possono essere trattati separatamente. In questi primi capitoli, infatti, tratteremo delle sole cariche elettriche stazionarie. 

1.1 ​LEGGI FONDAMENTALI DELL'ELETTROSTATICA

--> Esistono 4 forze o interazioni

• debole (tra atomi)

• forte (tengono insieme il nucleo)

• gravitazionale (fisica 1, molto debole)

• elettromagnetica (maggior parte dei fenomeni chimici, 5 sensi,...)

--> Equazione di Maxwell

Elettricità: cariche elettriche

La scoperta deriva dagli antichi greci, che notarono che due bacchette di ambra sfregate con pellicce vanno a creare tra le 2 bacchette una forza repulsiva (entrambe accumulano cariche negative). Secondo il modello elettrico di B. Franklin, due cariche dello stesso segno si respingono, mentre due cariche diverse si attraggono. Da questo modello deriva l'attuale concezione della struttura atomica.

Proprietà della materia: massa inerziale e massa gravitazionale che sono collegate secondo la relatività generale di Einstein.

Quantizzazione:

Il nucleo è formato da p+ e n° tenute insieme da forze forti. La carica elettrica è quantizzata e quindi la grandezza varia a salti (anche se esistono quark con 1/3 e 2/3 della carica dell'e-, ma non esistono isolati in natura). 1e-= 1,6* 10^-19 C (Millikan). massa e- : 9*10^-31kg e p e n circa 2000 volte più grandi.

Dimensioni: nucleo 10^-15m = 1 femtometri - atomo: A - Amstrong 10^-10m. La distribuzione media delle funzioni d'onda varia da 4 a 5 A circa, quindi varia poco tra i vari atomi. Dipendono meno dal numero atomico, ma più dalla riga ( sia numero p+ sia dal numero di gusci, effetto schermo). I metalli alcalini sono i più grandi. 

Conservazione:

La carica totale dell'universo non cambia mai (per quello che sappiamo). In condizioni normali e-, p+ non si creano né scompaiono, ma è possibile (in stelle, nell'origine dell'universo,...) con quanti, che delle fluttuazioni possano creare 2 particelle (relatività ristretta E=mc^2), di cui una particella e un'antiparticella con carica opposta. Quindi in condizioni statiche la carica elettrica totale contenuta all'interno di un fissato volume resta costante nel tempo (dQ/dt=0), dato che non possono esserci cariche elettriche che attraversano la superficie che racchiude il volume considerato.

Quindi esiste un equazione di conservazione dell'energia e non della massa !!!!!

Spostamento:

• conduttori: le cariche elettriche si spostano facilmente

• isolanti: le cariche elettriche si spostano difficilmente

• semiconduttori: la conducibilità dipende dalla temperatura.

*Queste caratteristiche dipendono dal materiale e non è vero in senso assoluto.

Legge di Coulomb:

Nel 1800 con la bilancia a torsione esegue una serie di esperimenti con vari tipi di sfere e poi passa a palline di dimensioni infinitesime, puntiformi. Prese due cariche la forza che agisce tra le due cariche (F vettore), q2-q1 la direzione è data dalla retta che passa per i 2 punti e il verso da 2 a 1 (e viceversa). Il Coulomb è una carica elettrica molto grante e la forza di due particelle di carica 1C disposte ad 1 metro è uguale al peso esercitato da 15 milioni di esseri umani adulti.

​Nota: Essendo la legge di Coulomb, in sostanza identica alla legge di gravitazione universale, è facile vedere il seguente parallelismo

Inoltre dividendo la forza elettrica per la forza gravitazionale si ottiene un numero enorme che indica come sia piccola la forza gravitazionale. (calcolo approssimato tra due e-, invece è 2*10^39, con la massa dell'e- e di un p+).

Principio di sovrapposizione:

La forza elettrica agente su di una particella elettrica q in presenza di altre cariche, può essere calcolata come somma vettoriale. L'interazione di due cariche elettriche è indipendente dalla presenza di altre cariche elettriche circostanti. F= F1+F2+..

​1.2 CAMPO ELETTRICO

 La presenza di una carica va a modificare lo spazio e il campo può essere associato alla posizione. Il campo esiste indipendentemente da ciò che lo ha generato, distribuzione di carica (come la temperatura che esiste indipendentemente ci sia un termometro nella stanza). ​Se è fermo viene definito campo elettrostatico. Introdotto da Michael Faraday, il campo elettrico si propaga alla velocità della luce ed esercita una forza su ogni oggetto elettricamente carico.

​Nel sistema internazionale di unità di misura si misura in Newton su Coulomb (N/C). 

L’espressione analogamente a quella della forza gravitazionale che descrive l’interazione tra due masse puntiformi, sottintende che l’azione che si esercita tra due corpi carichi si manifesta direttamente e istantaneamente senza alcun meccanismo di mediazione (azione a distanza). Nel 1846 Faraday, riprendendo le idee del gesuita slavo Rudjer Boscovich, ipotizzò che le cariche riempissero lo spazio circostante con un’entità alla quale attribuì il nome di campo. Pertanto in un sistema di cariche elettriche, una carica contribuisce al campo in tutto lo spazio e, allo stesso tempo, è sensibile al campo risultante di tutte le altre cariche

Vale anche qui in modo analogo il principio di sovrapposizione di una forza. Se conosciamo il campo in ogni punto poi sappiamo quale sarà la forza che agisce su un punto che inseriamo nello spazio considerato.

Qualora la separazione fra le singole cariche di un certo insieme è molto piccola rispetto alla distanza dal punto in cui si vuole calcolare il campo elettrico, è possibile considerare tale insieme come una distribuzione continua di carica.

Calcolo del campo elettrico

Corpo puntiforme: la carica della particella di prova deve essere piccola in modo da non alterare la distribuzione di carica che genera il campo. Se non è piccola la sua presenza può muovere altre particelle. Il corpo puntiforme inoltre genera un campo di simmetria sferica e radiale (proprietà scalare) e le varie direzioni che partono dal punto sono uguali se l'oggetto ha simmetria simmetrica sferica (es. ruoto palla). L'unica direzione ammessa è quella radiale alla sorgente del campo.

Dipolo elettrico: Nella sua forma più semplice è formato da due cariche puntiformi di valore assoluto uguale e segno opposto poste ad una distanza molto piccola. Più in generale un dipolo non ha una distribuzione simmetrica e non ha dimensioni nulle. Prendiamo il caso semplice e consideriamo q la carica di un corpo in valore assoluto e q+ quello positivo e q- negativo. 

Il campo elettrico prodotto da un dipolo elettrico in un punto a distanza grande rispetto alle dimensioni del dipolo medesimo è:

Allontanandosi dal dipolo il campo elettrico decresce rapidamente di quanto accade allontanarsi dalla carica puntiforme. Inoltre la distanza tra le cariche deve essere molto inferiore a quella del punto dove si calcola il campo. Infine il campo di dipolo è asimmetrico. 

Densità di carica: In genere considereremo le cariche non puntiformi ma continue. In 3 dimensioni considereremo la densità di carica, che indica il rapporto tra la quantità di carica elettrica presente in una porzione dello spazio e la regione stessa

Campo generato da un filo carico: Consideriamo un filo di lunghezza infinita (per mantenere una simmetria cilindrica) e la distribuzione della carica è  determinata da λ, con λ=Q/L. Calcoliamo E nel "punto medio" del filo.

1.3 ​LINEE DI FORZA DEL CAMPO ELETTRICO

Un campo elettrico può essere rappresentato da linee di forza . Queste linee sono disegnate in modo da essere tangenti in ogni punto alla direzione del campo elettrico in quel punto. Hanno una direzione e un verso. Le linee partono sempre da una carica.

Poiché la carica è quantizzata, il numero di linee di forza che escono da un qualsiasi oggetto materiale deve essere multiplo di una costante di proporzionalità arbitraria. Fissata k, il numero di linee di forza non è arbitrario. Se, ad esempio, un oggetto ha carica Q1 ed un altro ha carica Q2 , allora il rapporto N1 e N2 tra i numeri delle corrispondenti linee di forza sarà pari al rapporto delle cariche Q1 e Q2.

Il metodo di rappresentazione del campo elettrico attraverso le linee di forza presenta tuttavia alcune limitazioni. Innanzitutto la sua efficacia solo per la descrizione di campi statici essendo piuttosto complessa la rappresentazione dei campi generati da cariche in movimento e inoltre con questo metodo è impossibile applicare il principio di sovrapposizione.

Attraverso su una superficie di raggio doppio passa un ugual numero di linee (intensità diminuisce di 4 ma superficie aumenta di 4) e 1 Coulomb = 8 linee

Se le cariche sono uguali ma di segno opposto le linee si modificano nella zona posta tra le cariche stesse esse si infittiscono, il campo diventa più intenso, e partendo dalla carica positiva terminano sulla carica negativa.

Nel caso invece di due cariche uguali ma dello stesso segno, nella zona compresa tra le cariche i campi si indeboliscono dunque le linee diventano meno fitte ed in certi punti è nullo in quanto i versi dei campi sono opposti:

Se invece consideriamo un dipolo elettrico, ovvero un insieme di due cariche che non sono uguali ma di diverso valore assoluto allora le linee di campo si modificheranno diversamente.

In particolare quando le cariche non sono uguali in valore assoluto ma di segno opposto una possibile visualizzazione delle linee di campo potrebbe essere la seguente:

Un campo elettrico si dice uniforme quando assume lo stesso valore in tutti i punti dello spazio indipendentemente dalla distanza dalla sorgente del campo a cui si ci pone. Nel caso di una piastrina positiva le linee partono dritte e poi curvano per raggiungere la direzione radiale.

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​1.4 PARTICELLE CARICHE IN UN CAMPO ELETTRICO UNIFORME

Un campo elettrico uniforme ha dappertutto la stessa intensità e direzione di conseguenza un campo elettrico uniforme è rappresentato da linee di forza parallele. Un metodo classico per realizzare un campo elettrico uniforme è quello di caricare due lastre metalliche parallele con cariche uguali ma di segno opposto.

F= q*E --> a= q*E/m

Se si pone l'origine come posizione iniziale della particella e si orienta l'asse x nella direzione di E. Anche il tempo viene posto a zero.

Eliminando la dipendenza dal tempo.

Tubo a raggi catodici: Gli e- vengono emessi da un filamento incandescente e accelerati da un campo elettrico orizzontale generato da 2 placche, cannone elettronico. Un foro poi gli separa e indirizza in un campo perpendicolare alla direzione degli e-.

Dipolo elettrico nel campo uniforme: Prendiamo due cariche bloccate ad una distanza fissa, con F+= qE e F-= -qE. Trascuriamo le forze interne attrattive tra q+ e q-. La risultante delle forze esterne è nulla e il momento risultante r- è negativo e r+ positivo.

--> Momento: Si calcola rispetto ad un punto, e tende ad allineare il dipolo con il campo.

r+ - r- è il vettore diretto dalla carica negativa a quella positiva.

Il dipolo non subisce effetti se è allineato con il campo (eq stabile), e se ha il verso opposto si trova in un equilibrio instabile e un piccolo movimento denterebbe a farlo ruotare di 180°.

U(0) = -pE

U(pi-greco) = pE

U(pi-greco/2) = 0

​

1.5 LEGGE DI GAUSS

Flusso: quantità che attraversa una data superficie nell'unità di tempo. E' proporzionale all'area, all'angolo tra la superficie e il moto.

Consideriamo un campo vettoriale v e supponiamo che le linee di forza corrispondenti siano tutte parallele tra loro. Consideriamo una superficie di area S disposta perpendicolarmente alle linee di forza.

​Poiché il numero di linee di forza per unità di area di un vettore è proporzionale al modulo del vettore, una misura del numero di linee di forza passanti attraverso la superficie è proporzionale al prodotto v*S. 

Qualora la superficie forma un angolo @ con le linee di forza di v risulterà: cos@*v*S 

L'integrale viene detto integrale di superficie. Quindi il flusso del campo elettrico attraverso una superficie è l'integrale di superficie di E esteso alla superficie data.

Legge di Gauss (fisico tedesco): Legge che vale anche con cariche elettriche in movimento. Il flusso di un campo elettrico attraverso una superficie chiusa è dato dal rapporto tra la carica elettrica totale interna alla superficie e la costante dielettrica assoluta del mezzo.

La superficie chiusa attraverso la quale si calcola il flusso è detta superfici gaussiana.

Deduzione della legge di Gauss dalla legge di Coulomb: 

​-->Flusso attraverso una superficie arbitraria con carica puntiforme all'esterno: Si consideri il flusso relativo alla superficie gaussiana a forma di tronco di cono con basi sferiche (2 calotte sferiche e 4 face radiali) e il campo è dovuto ad una particella carica.

Il flusso totale è nullo perché il flusso che attraversa le due facce piane radiali è nullo e il flusso che attraversa la calotta 1 è uguale e opposto al flusso 2.

Tutte le superfici possono essere approssimate ad un certo numero di calotte sferiche cn centro nella particella.

​-->Flusso attraverso una superficie arbitraria con carica puntiforme all'interno:

​-->Flusso attraverso una superficie arbitraria con carica puntiforme all'interno e all'esterno:

Consideriamo 3 cariche. Secondo il principio di sovrapposizione, il campo è dato dal vettore somma dei contributi. (o 2 che è all'esterno)

Divergenza campo elettrico e ricavare la legge di Gauss per il campo elettrico in forma differenziale: Consideriamo un volume deltaV intorno ad un punto P e la superficie chiusa deltaS e calcoliamo il rapporto tra il flusso del campo attraverso S e V. Considerando volumi sempre più piccoli si ottiene la divergenza del campo E nel punto P.

​1.6 USO DI GAUSS PER DETERMINARE E

1) Filo infinito di spessore trascurabile: Ha una simmetria cilindrica e quindi si prende in considerazione un cilindro con asse coincidente con il filo e di raggio R e altezza L. Se il filo non è infinito viene a cadere la simmetria è diventa inutile l’applicazione della legge di Gauss per la determinazione del campo elettrico; tuttavia questo risultato resta valido per un filo di lunghezza finita L nel limite r<<L per punti sufficientemente distanti dalle estremità del filo. 

2) Piano molto grande carico superficialmente: Anche qui si prende come superficie un cilindro lontano dai bordi.

3) Superficie sferica cava

4) Superfice sferica piena uniforme

5) Sfera di raggio R di densità volumetrica costante con cavità sferica di raggio R/2. Per Gauss il flusso del campo elettrico per una superficie chiusa simmetrica è zero, ma qui non c'è simmetria.

Gli esempi evidenziano che il campo esterno di una distribuzione di carica simmetrica è diretto radialmente e la sua intensità è la stessa che si avrebbe se la carica fosse concentrata in un punto puntiforme al centro della distribuzione.

Solo il campo elettrico interno dipende dalla distribuzione radiale

Proprietà elettrostatiche di un conduttore: 

--> abbiamo un equilibrio statico e quindi il campo elettrico interno deve essere nullo, altrimenti si avrebbero continue correnti perpetue. Eint0 --> flusso interno uguale a 0 per tutte le superfici interne del conduttore (un isolante può essere diverso da zero).

Dunque eventuale carica elettrica deve distribuirsi solo sulla superficie del conduttore, fuori leggermente dalla superficie Gaussiana. La densità di carica sigma, comunque varia generalmente da punto a punto della superficie.

Campo nelle immediate vicinanze (esterne) di un conduttore: ​Preso un conduttore carico scegliamo un cilindro con le basi parallele al conduttore come superficie gaussiana. Poi si scompongono i vari flussi e li si calcola singolarmente.

Gabbia di Faraday: In condizioni di equilibrio elettrostatico, all'interno di un conduttore non è presente né un campo elettrico né una densità di carica.

Supponiamo di appendere una sfera metallica con un filo isolante all'interno di un recipiente metallico chiuso. Il recipiente, scarico, è appoggiato su un sostegno isolante. Utilizzando un elettrometro, si misura la carica sulla superficie esterna del recipiente. Questa si carica quando la sfera viene completamente calata all'interno del recipiente.

Se si inclina il sistema e la sfera tocca la parete del recipiente, i due componenti diventano un unico conduttore. Di conseguenza, la sfera si scarica e la parete si carica. Tuttavia, l'elettrometro non rileva alcuna variazione di carica sulla superficie esterna del recipiente, poiché la carica totale del sistema rimane invariata.