CONDUZIONE

La conduzione è legata a processi che avvengono a livello atomico o molecolare.

​Per spiegare il fenomeno consideriamo dapprima un gas macroscopicamente in quiete racchiuso in un recipiente in cui le due pareti poste orizzontalmente sono a temperatura diversa, con la parete superiore a temperatura maggiore, mentre le altre pareti sono adiabatiche. Le molecole vicino alla parete calda hanno una temperatura (e quindi un energia cinetica) maggiore. Il loro moto avviene casualmente in tutte le direzioni; quindi prima o poi collideranno con le molecole a temperatura più bassa trasferendo a queste parte della loro energia. In tal modo vi è un trasferimento di energia dalla parete calda a quella fredda. Sperimentalmente si vede che il flusso termico è proporzionale al gradiente di temperatura e non alla differenza di temperatura. Definiremo questo meccanismo una diffusione di energia. Nei liquidi il meccanismo è analogo.

Conduzione in un fluido.

Nei solidi, invece, il meccanismo della conduzione dipende dal tipo di materiale:

• Nei materiali con struttura reticolare la trasmissione termica dipende dalle vibrazioni degli atomi costituenti il reticolo.

• Nei materiali conduttori la trasmissione termica dipende dal movimento degli elettroni liberi.

La conduttività termica k:

E' una proprietà termofisica della materia. Il suo valore è, quindi, strettamente legato alla struttura atomica del materiale. In termini generali il suo valore diminuisce passando dai solidi conduttori, alle leghe, ai liquidi e ai gas.

Nei materiali conduttori l’apporto alla conduttività degli elettroni liberi è preponderante rispetto alle vibrazioni del reticolo; nelle leghe i due apporti diventano comparabili. Nei materiali non metallici l’apporto principale alla conduttività termica è dato dalle vibrazioni del reticolo.

k ∝ cn λ dove: n è il numero di particelle per unità di volume, c è la velocità media molecolare, λ è il cammino libero medio 

LEGGE DI FOURIER per la conduzione

Dove: qx è la potenza termica trasmessa in direzione x (Mi scuso per il cambio di simbologia ma è quella utilizzata di solito nei testi di trasmissione del calore). k è il coefficiente di conducibilità termica A è l’area della superficie di scambio termico.

• Il segno meno indica che il calore viene trasferito in direzione opposta a quella del gradiente di T

• La conducibilità termica è una proprietà termofisica del materiale e la sua unità di misura è mK/W. Per i materiali comuni il suo valore varia da 0,03 mK/W per i materiali isolanti fino 420 mK/W per l’argento.

​

Se consideriamo il caso di una parete piana di spessore L, monodimensionale (lo spessore della parete è molto più piccolo delle altre due dimensioni), in condizioni di stazionarietà e senza generazione interna di calore, applicando il primo principio all’intera parete, o a qualunque volume di controllo interno, possiamo scrivere che: Ein = Eout 

La legge di Fourier vale anche nel caso non stazionario se la applichiamo ad un volumetto infinitesimo di materiale, così l'accumulo di energia interna è trascurabile.

Caso di una tubazione con del liquido, abbiamo conduzione e convezione di calore.

​Analogia elettrotermica e/t:

Il metodo dell’analogia è molto usato in fisica e si basa sull’osservazione di fenomeni fisici, pur essendo completamente diversi, presentano delle equazioni formalmente uguali. Possiamo subito notare l'analogia tra la legge di Fourier e Ohm.

​Coefficiente di scambio termico globale o trasmittanza:

Per i sistemi composti è molto comune utilizzare al posto della resistenza totale un coefficiente di scambio termico globale, o trasmittanza, U, espresso in W/(m^2 K) , che viene definito tramite un espressione analoga alla legge di Newton:

Conduzione in serie:

Conduzione in parallelo:

Ricordiamo la soluzione generale dell'equazione di conservazione dell'energia:

​LEGGE ED EQUAZIONE DI FOURIER IN PIU' DIMENSIONI

Consideriamo tutte le possibili orientazione della superficie ruotandola attorno ad un certo punto P. Per ogni orientazione indicata dal versore n^ si misura la potenza termica dqn ed il flusso corrispondente qn''. L'orientazione per qui il flusso qn'' è massimo è n^*.

In un sistema tridimensionale, considerando un sistema di riferimento cartesiano, potremo scrivere in termini generali che: 

L’equazione di Fourier per la conduzione:

Per conoscere il campo di temperatura in un sistema, una via è quella di ricavare l’equazione dell’energia in termini differenziali e, poi, integrarla sull’intero sistema, ammesso che ciò sia possibile, tenendo conto delle condizioni iniziali e di quelle al contorno. Una volta noto il campo di T si può risalire alla potenza scambiata applicando la legge di Fourier. Nel caso di pura conduzione l’equazione dell’energia espressa in termini differenziali prende il nome di equazione di Fourier o di equazione generale della conduzione.

Inoltre l’equazione di Fourier non è altro che un’applicazione del primo principio. ​

Ricaveremo l’equazione in coordinate cartesiane (perché è più semplice), sotto le seguenti ipotesi:

• Il sistema è isotropo

• Il sistema è indeformabile 

Se mezzo omogeneo e prop. costanti:

Condizioni stazionarie e Laplace:

Diffusività:

E' un parametro molto importante ed è funzione di quanta energia viene trasferita rispetto a quanta ne viene immagazzinata nel sistema. Aumentando α aumenta la velocità con la quale una variazione di temperatura sulla superficie del sistema si propaga al suo interno. 

In sintesi:

Se mezzo omogeneo:

SIMMETRIA CILINDRICA E RAGGIO CRITICO

Tubazione semplice:

L’esempio più comune è quello di una tubazione le cui superfici interne ed esterne sono lambite da fluidi a T diversa. Affinché si possa considerare monodimensionale, supponiamo che la T della superficie interna e di quella esterna siano costanti e quindi la T della parete della tubazione dipende solo dal raggio. Inoltre ci troviamo in condizioni stazionarie.

Potenza termica (​non dipende dalla posizione)

Resistenza termica Rt

Tubazioni multistrato:

Raggio critico di isolamento:

Se si aumenta lo spessore di isolante, aumenta la resistenza conduttiva con legge logaritmica, mentre la resistenza convettiva cala con legge iperbolica, in quanto l’area di scambio termico aumenta linearmente con il raggio.

​Partendo dal filo nudo la resistenza totale tende a diminuire (e quindi all’aumentare dello spessore di isolante, aumenta la potenza termica scambiata) fino a raggiungere un valore minimo per un determinato raggio, chiamato raggio critico. Superato il raggio critico la potenza scambiata tende a diminuire. ​

Rc=k/h

Adimensionalizziamo:

Andamento della resistenza termica in funzione del raggio esterno in un filo coibentato

Non è, quindi, detto che ricoprendo un tubo o un filo con del materiale isolante lo scambio termico effettivamente diminuisca. Perché ciò sicuramente accada, il diametro esterno del sistema, valutato senza l’isolante, deve essere maggiore del raggio critico (in genere non è un problema in per simmetria una fetta.

Sono state ricavate molte soluzioni analitiche per i vari casi semplici. Noi consideriamo il metodo dei "fattori di forma conduttrici" (e usando il teorema di Buckingham). Prendiamo una ciminiera a sezione quadrata e prendiamo per simmetria una fetta.

​CONDUZIONE NON STAZIONARIA

E' il modello più vicino alla realtà. Vi sono casi in cui non è assolutamente possibile trascurare il termine di non stazionarietà.

• E' il caso degli edifici, se in fase di riscaldamento il problema della variazione delle condizioni esterne non è importantissimo in quanto la potenza della caldaia è valutata per delle condizioni abbastanza estreme per la zona climatica considerata, il transitorio diventa fondamentale nella progettazione degli impianti di condizionamento. Il massimo dell’irraggiamento termico si verifica attorno alle ore 12-13. L’aumento di T che si verifica sulle superfici opache impiegherà un certo tempo per far sentire il suo influsso all’interno dell’ambiente e questo tempo sarà funzione della diffusività delle pareti. Si deve ritardare il più possibile l’aumento di T all’interno in modo da farne sentire l’influsso la sera, quando la T dell’aria è diminuita.

• Il transitorio è anche importante nella progettazione di motori in cui devo tener conto dei giochi, per esempio tra cilindro e pistone; per aumentare il tempo medio tra due manutenzioni e qui quindi bisogna ridurre i tempi del transitorio.

Per valutare il transitorio devo risolvere l’equazione di Fourier. Esistono 3+1 metodi:

• Metodi analitici: Si risolve in maniera analitica l’equazione di Fourier, ma sono difficili ed esistono solo per geometrie semplici.

• Metodi grafici: per geometrie semplici dei grafici generati in funzione di numeri adimensionali che permettono di valutare in funzione del tempo la distribuzione della temperatura e il calore scambiato (Heisler charts).

• Metodi numerici: Tramite computer. Hanno il pregio di poter trattare problemi di notevole complessità geometrica, con proprietà termofisiche variabili e condizioni al contorno arbitrarie.

• Metodo delle capacità concentrate: non si basa sulla risoluzione dell’equazione di Fourier ed è applicabile solo sotto determinate condizioni

Consideriamo una parete nel caso stazionario.

Quindi per il metodo delle capacità concentrate consideriamo un modello in cui si suppone che la temperatura all’interno del volume di controllo sia in ogni istante spazialmente uniforme. Ovviamente questa ipotesi non ha alcun senso fisico poiché se non ho un gradiente di T non posso avere trasmissione termica, perciò si usa quando i gradienti termici all’interno del corpo sono sufficientemente piccoli.

​Quindi se il numero di Biot è molto minore di 1, si può ritenere che la resistenza conduttiva sia trascurabile rispetto a quella convettiva; quindi, la T all’interno del corpo si può ritenere costante. In definitiva, se Bi < 0,1 è possibile applicare il metodo dei parametri concentrati, commettendo un errore di modellizzazione accettabile ( minore del 5%). 

Esempio: Un pezzo di metallo caldo che metto in bagno che scambia calore con l'ambiente.

Osservazioni:

a) Al crescere di tau (costante di tempo), la variazione di temperatura è più lenta. Ciò si verifica se aumento la capacità termica del corpo oppure se aumento la resistenza termica concettica.

b) Analogia elettrotermica:

c) calore ceduto all'ambiente circostante:

Adimensionalizzazione:

Per comodità suppongo che il problema dipenda da una sola coordinata spaziale. Supponiamo una lastra piana in assenza di generazione di calore e con conduttività costante. L’equazione di Fourier diventa, allora:

In definitiva è funzione di otto variabili. Ora adimensionalizzeremo queste equazioni, combinando le variabili in opportuni gruppi adimensionali. Risulterà evidente alla fine il vantaggio di questa operazione.

Ricordando l’espressione del numero di Fourier si ottiene * e le condizioni iniziale e al contorno diventano:

Abbiamo da considerare solo 3 variabili. Se ricavassimo la funzione con metodi sperimentali dovremmo tener sotto controllo un numero decisamente più alto di variabili. Inoltre l’eventuale relazione che viene ricavata ha una validità generale; vale, cioè, per tutti i sistemi geometricamente simili.

​HEISLER CHARTS

La soluzione dell’equazione di Fourier, anche in un caso monodimensionale, è difficile. Heisler riportò in forma grafica la soluzione dell’equazione di Fourier non stazionaria per alcuni casi geometricamente semplici: lastra piana monodimensionale, cilindro lungo, sfera. 

Nel caso B>0,1 non possiamo trascurare la variazione di temperatura nel sistema.

​1) Consideriamo il caso di una parete piana alla temperatura iniziale Ti:

2) Consideriamo ora il 1 termine della soluzione analitica:

3) Q/Qmax, Il calore ceduto dalla parete al fluido circostante:

Riassunto metodologia di calcolo con H-C dove abbiamo tre casi possibili:

(Sono disponibili H.C. per svariate configurazioni geometriche)

Effetti multi-dimensionali:

Inoltre le condizioni contorno sono:

Il problema descrive il campo termico per una configurazione 2D:

Abbiamo quindi composto la soluzione 2D partendo da soluzioni 1D.