CONVEZIONE

La convezione termica si riferisce allo studio dello scambio termico che avviene tra una superficie solida ed un fluido a contatto con la superficie.

Oltre a dipendere dalle proprietà termofisiche del fluido e dalle condizioni al contorno imposte sulla superficie del solido, dipende fondamentalmente dalle caratteristiche del moto, cioè dalla geometria del sistema, dal tipo di moto (laminare o turbolento), da come è generata la velocità del fluido (convezione forzata o naturale).

Oltre all’equazione dell’energia, bisogna risolvere anche l’equazione di continuità e quella della quantità di moto. La risoluzione analitica di queste equazioni è molto complessa e spesso impossibile. Si ricorre, allora, a metodi che utilizzano l’analisi dimensionale (numeri adimensionali) e le leggi di similitudine, associati a dati ottenuti sperimentalmente o numericamente. Un metodo per ottenere i numeri adimensionali significativi per un certo problema è quello di adimensionalizzare le equazioni che reggono il fenomeno, come nella conduzione non stazionaria.

Focalizziamo, per il momento, la nostra attenzione al caso della convezione forzata. Adimensionalizzando le equazioni della quantità di moto, di continuità e dell’energia si ricava che il numero di Nusselt locale vale:

Medio riferito al sistema

Le funzioni sono ricavate per ogni geometria, o per via sperimentale, o per via numerica e nei seguenti paragrafi studieremo il significato fisico di questi numeri adimensionali.

Il numero di Nusselt e quello di Biot sono uguali. Tuttavia i significati fisici sono completamente diversi. Biot è il rapporto tra la resistenza termica conduttiva interna al corpo e la resistenza termica esterna mentre Nusselt è un rapporto tra flussi termici. Da un punto di vista pratico la differenza sta nel fatto che per valutare il numero di Biot si considera la conduttività termica del solido, mentre per valutare Nusselt si considera quella del fluido.

Il problema fondamentale dello scambio termico convettivo: calcolare h a Ti.

CONDUZIONE FORZATA

Da aggiornare entrambe le immagine, Condizioni al contorno sulla superficie:

Xc= Rec v/Uinfinito

CONDUZIONE NATURALE

TEOREMA DI BUCKINGHAM

I numeri adimensionali possono venir ricavati, oltre che con l’adimensionalizzazione delle equazioni che reggono il fenomeno, anche con l’analisi dimensionale.

In termini matematici si può scrivere che una qualunque entità A si ricava in funzione di altre tramite una relazione generica del tipo: A = ϕ (A1, A2,……..An).

La scelta delle unità fondamentali è arbitraria e in base alla loro scelta cambiano le entità derivate. L’equazione (3-8) dovrebbe essere omogenea, in modo che una variazione di unità di misura comporti solo la moltiplicazione di tutti i termini per una costante numerica.

Il teorema di Buckingham afferma che: Se un’equazione è dimensionalmente omogenea, può venir ridotta nella forma di una relazione fra una serie completa di parametri adimensionali. Il numero di questi parametri è pari alla differenza tra il numero delle entità fisiche che caratterizzano il fenomeno e il numero delle entità fondamentali.

Questa definizione è comoda, ma non sempre vera per quanto concerne il numero dei numeri adimensionali risultanti. Una definizione più precisa è dovuta a Langhaar: Il numero dei gruppi adimensionali di una serie completa è pari al numero totale delle variabili meno la caratteristica della loro matrice dimensionale. Per caratteristica o rango di una matrice s’intende l’ordine massimo dei minori non tutti nulli (o rango di una matrice s’intende l’ordine massimo dei minori non tutti nulli).

Le grandezze fondamentali sono la massa M, la lunghezza L, il tempo τ e la temperatura Τ.

Esempio: convezione forzata su un cilindro. In base alle osservazioni sperimentali, possiamo supporre la seguente dipendenza:

In accordo con l'assunzione vista nella legge di Newton per la conduzione, accettiamo che h non dipende dalla variazione della temperatura.
Le grandezze fondamentali sono la massa M, la lunghezza L, il tempo τ, la temperatura Τ e il calore J.
Otteniamo che il calore e la temperatura compaiono solo nella forma J/Q e si possono scrivere come J'.
Costruiamo ora la matrice dimensionale:

Riconduciamo in forma diagonale superiore:

In convezione forzata

Molte correzioni sono nella forma:

Esempio: convezione naturale

FORZE DI GALLEGGIAMENTO

La forza di galleggiamento per unità di volume è quindi:

Velocità scala per la convezione naturale

Significato fisico di Gr:

Gr rappresenta quindi un numero di Reynolds basato sulla velocità scala per la convezione libera.

Forma funzionale delle distribuzioni di velocità e di temperatura nello S.L.

Significato fisico dei gruppi adimensionali:

REYNOLDS

Il numero di Reynolds è definito come il rapporto tra le forze d’inerzia e quelle viscose. Le forze d’inerzia sono uguali alla portata di massa per la velocità.

Il numero di Reynolds determina se ci troviamo in flusso laminare o turbolento.

Infatti se è minore di un certo valore, che dipende dalla geometria del sistema, le forze viscose sono sufficientemente grandi da smorzare ogni disturbo che si presenta nel flusso.
Sopra un certo valore le forze d’inerzia sono in grado di amplificare questi disturbi portando il flusso in condizioni turbolente.

PRANDTL

Misura l'efficacia relativa del trasporto di quantità di moto e di energia per diffusione. Possiamo considerare quindi che si abbia con n>0

In definitiva il numero di Prandtl esprime il rapporto tra lo spessore dello strato limite dinamico e quello termico.

Pr<<1, nei metalli liquidi (0,025-0,1), il trasporto per diffusione è molto più vivace di quello dovuto alla quantità di moto; pertanto lo spessore dello strato limite termico è maggiore di quello dinamico.
Pr ≈ 1, nei gas (0,7), i due fenomeni sono comparabili e quindi gli spessori dei due strati limite sono circa uguali.
Pr>>1, per l’olio o l’acqua(100), lo spessore dello strato limite dinamico è maggiore di quello termico.

Analogia di Reynolds

Nel caso in cui Pr circa 1 e dP*/dx*=0, le equazioni adimensionali che descrivono il trasporto di q.d.m. ed energia sono fondamentalmente identiche e si ottiene:

Si è visto sperimentalmente che:

Esempio:

In questo caso la generazione interna di calore (dissipazioni viscose, lavoro meccanico interno) è trasferito per convezione attraverso lo stato di olio e per conduzione attraverso la piastra superiore.

Esempio: misure sperimentali sullo scambio termico su barra cilindrica hanno fornito i seguenti risultati:

CONVEZIONE FORZATA: flussi esterni

Flusso esterno: lo sviluppo dello strato limite non è limitato dalla presenza di superfici solide. La soluzione analitica di tali problemi è possibile solo per casi estremamente semplici. Consideriamo flussi a bassa velocità, in cui non si hanno sensibili effetti di compressibilità, onde d'urto e dissipazione viscosa.

Bisogna distinguere tra condizioni di flusso laminare e turbolento ed utilizzare la correlazione corrispondente.

Esempio: Lastra piana isoterma.

Lo strato limite si mantiene laminare fino ad una distanza critica dal bordo d’ingresso, xc. Il moto da questo punto in poi comincerà a diventare turbolento

Nota: nei flussi esterni turbolenti lo sviluppo dello strato limite è generato dalle fluttuazioni turbolente piuttosto che dalla diffusione. Si può quindi assumere con uona approssimazione che:

Condizioni miste per lo stato limite parte laminare, parte turbolenta

Caso particolare

Flusso imposto:

Cilindro con flusso trasversale:

Per la conservazione della massa la velocità prima aumenta fino a raggiungere un massimo dove la sezione è più stretta e poi diminuisce fino a riportarsi alla u∞.

Ora, se la velocità aumenta, per il teorema di Bernoulli la pressione diminuisce.

Pertanto nella zona che va dal bordo d’ingresso al massimo spessore del profilo avremo un gradiente di pressione negativo, mentre dopo il punto di massimo spessore avremo un gradiente positivo. Questo significa che nella prima zona il gradiente negativo favorisce il flusso mantenendo più contenuto lo spessore dello strato limite dinamico.

Avviene un'inversione di una parte del flusso

Aumentando il numero di Reynolds lo strato limite viene energizzato al punto che per un certo valore del numero di Reynolds, definito Reynolds critico, la separazione si sposta nella parte posteriore del cilindro. L’angolo di separazione assume un valore dell’ordine dei 140°. Il valore di Reynolds critico vale mediamente ReDc = 2 x 10^5

Transizione strato limite: il profilo di velocità è più piatto, vicino alla parete il fluido ha più energia cinetica e quindi ritarda il distacco dallo strato limite.

CONVEZIONE FORZATA: flussi interni

Strato limite confinato, non può svilupparsi indefinitamente.
Completo sviluppo idrodinamico:
Completo sviluppo termico: la forma del profilo di T non dipende da x. Si ottiene con particolari condizioni di contorno.