Il corso comprende lo studio:

• L’insieme C dei numeri complessi: la struttura algebrica e la struttura metrica, forma cartesiana e forma polare di un numero complesso, formule di De Moivre.

• Funzioni complesse di variabile complessa: continue, derivabili, olomorfe, condizioni di monogeneità; serie di potenze, esponenziali, circolari, iperboliche e loro proprietà; la radice ennesima e il logaritmo.

• Elementi di analisi complessa: curve parametriche in C, integrale su una curva di una funzione complessa, il Teorema di Cauchy e le formule integrali di Cauchy per una funzione; principali teoremi dell'analisi complessa; funzioni analitiche; proprietà degli insiemi degli zeri di una funzione analitica; classificazione delle singolarità di una funzione e residuo di una funzione in un punto singolare isolato; serie bilatere e il teorema di Laurent; il teorema dei residui; calcolo di integrali con il metodo dei residui.

• Elementi di teoria dell’integrazione secondo Lebesgue: definizione di integrale per Lebesgue, teorema della convergenza dominata, teorema di Fubini-Tonelli, integrali dipendenti da parametri.

• Elementi di analisi funzionale: spazi di Banach e di Hilbert, sistemi ortogonali, teorema di migliore approssimazione, spazi di Lebesgue e relative proprietà, convoluzione e relative proprietà.

• Serie di Fourier e applicazioni: polinomi e serie di di Fourier, disuguaglianza di Bessel e identità di Parseval, convergenza in L^2, puntuale e uniforme delle serie di Fourier, derivazione e integrazione a termine a termine, regolarità di una funzione e ordine di infinitesimo dei suoi coefficienti di Fourier, applicazioni delle serie di Fourier alla risoluzione delle equazioni del calore e delle onde.

• Trasformata di Fourier e applicazioni: trasformata di Fourier in L^1 e sue proprietà, calcolo di trasformate, nuclei regolarizzanti e identità approssimate, antitrasformata di Fourier, teorema di inversione in L^1, trasformata di Fourier in L^2, teorema di Plancherel, applicazione della trasformata di Fourier al problema del campionamento, teorema di Shannon, applicazione della trasformata di Fourier alla risoluzione di alcune classi di equazioni differenziali.

• Trasformata di Laplace: definizione e principali proprietà; il problema della trasformata inversa; applicazione delle trasformate ad alcune classi di equazioni e sistemi differenziali, integrali e integro-differenziali.