TRASPORTO E FONONI

Come i fotoni sono i «quanti di luce», così i fononi sono i «quanti di suono», entità descrittive astratte alle quali si può ricorrere per determinare le proprietà meccaniche, ottiche e termiche dei solidi.

In meccanica classica il termine «particella» denota un oggetto fisico dotato di individualità e descrivibile col modello del punto materiale: gli attribuiamo una posizione, una massa e un impulso. Con l'avvento della meccanica quantistica e lo sviluppo dell'indagine sperimentale nel mondo microscopico, il significato del termine «particella» si è progressivamente allontanato dall'idea di «corpuscolo» che originariamente evocava. 

Principi quali la dualità onda-particella (Louis De Broglie) e il principio d'indeterminazione (Werner Heisenberg) non solo asseriscono la necessità di un diverso atteggiamento nel nostro modo di osservare e valutare i fenomeni su scala microscopica, ma ci indicano pure le proprietà fondamentali che caratterizzano la «particella quantistica»: un'entità che ci descriva uno dei possibili modi d'essere dell'energia, unitamente alla sua possibilità di trasporto. 

I fononi sono stati teorizzati da Max Born e Walter Bothe nel 1924. Essi hanno mostrato che le proprietà di diffrazione dei raggi X da cristalli possono essere spiegate dalla natura quantistica delle vibrazioni del reticolo cristallino. Successivamente, nel 1926, Debye ha sviluppato un modello teorico per descrivere le proprietà termiche dei fononi in un cristallo. Il modello di Debye ha permesso di spiegare i risultati sperimentali di varie proprietà termiche dei cristalli, come il calore specifico, e ha confermato l'esistenza dei fononi come quanti di vibrazione del lattice cristallino. 

Tuttavia sono stati osservati direttamente sono nel 2007, quando sono stati ottenuti in laboratorio utilizzando tecniche di raffreddamento quantistico. Oggi, i fononi sono un argomento di studi intensi nella fisica dei materiali e nella tecnologia dei dispositivi quantistici, poiché possono essere utilizzati per creare nuovi tipi di dispositivi elettronici e per studiare le proprietà della materia a livello quantistico. 

7.1 Trasporto nei solidi

In un unico grafico considero l'energia, la velocità e la massa. Si nota che qualsiasi cosa io faccia gli elettroni hanno un moto oscillatorio nella banda. Questo movimento oscillatorio è causato dall'interazione tra gli elettroni e la struttura del cristallo. Anche se applico un campo elettrico gli e- non sono liberi, possono solo stare su quei stati elettronici. Quindi secondo questo modello non trasportano corrente, vengono detti oscillazioni di Bloch.

Il movimento oscillatorio all'interno delle bande di energia può contribuire alla conducibilità elettrica dei materiali perché gli elettroni possono essere "eccitati" e "liberati" dai loro atomi di origine, diventando elettroni liberi in grado di spostarsi all'interno del materiale. Questi elettroni liberi sono responsabili del trasporto di carica elettrica attraverso il materiale, permettendo la conduzione elettrica. 

In meccanica quantistica quindi, la quantità di moto di un elettrone è descritta dall'equazione di de Broglie:  p = m*v = h/λ = hk

dove p è la quantità di moto dell'elettrone, h è la costante di Planck, λ è la sua lunghezza d'onda e k è il vettore d'onda dell'elettrone.

Il vettore d'onda è un vettore che descrive l'onda associata all'elettrone, e la sua direzione e modulo sono determinati dalla relazione di dispersione dell'onda e dalle condizioni al contorno del sistema.

L'equazione di de Broglie mostra che l'elettrone ha una quantità di moto associata alla sua natura ondulatoria, anche se ha anche una massa associata alla sua natura corpuscolare.

(Per i fotoni: La quantità di moto è data dalla sua energia divisa per la velocità della luce, come indicato dall'equazione di Planck-Einstein E=hf/c, dove h è la costante di Planck, f è la frequenza del fotone e c è la velocità della luce nel vuoto. Anche se la massa del fotone è considerata zero, questo non implica che la quantità di moto sia zero, in quanto la quantità di moto è data dalla massa m moltiplicata per la velocità v.

Nel caso del fotone, poiché la massa è zero, la quantità di moto è data solo dalla sua energia e dalla sua frequenza, come indicato dall'equazione di Planck-Einstein. Questa relazione è una conseguenza della relatività ristretta di Einstein, che afferma che la massa di un oggetto aumenta con la sua velocità e tende all'infinito quando si avvicina alla velocità della luce, ma non è applicabile ai fotoni, che si muovono sempre alla velocità della luce.)

Quindi per avere una corrente devo infastidire gli elettroni (non si ha mai un reticolo perfetto). Ammetto quindi lo scattering, dato dai difetti e dalle vibrazioni degli ioni. Questo si è notato grazie al silicio monocristallino prodotto con il metodo Czochralski , 10^14 difetti su 10^23 atomi di 1 mole.

Prendendo il modello di Drude, cioè un metallo con un mare elettronico, con urti che ogni tanto azzerano la velocità dell'elettrone.

La formula si rivelò errata a causa dell'assunzione che tutti gli elettroni di conduzione (guscio di valenza) contribuiscano allo stesso modo. Gli unici che dovrebbero essere calcolati sono solo quelli più esterni e a più alta energia, Drude sbagliò il conto di due ordini di grandezza. Tuttavia sbagliò anche il calcolo del tempo di rilassamento, che in realtà era molto più alto e sempre di due ordini di grandezza (gli e- interni hanno velocità media più bassa).

Il cristallo è periodico e solo gli elettroni in prossimità di Fermi interagiscono, essendo i più energetici. Drude commise nel suo conto degli errori poi sistemati da Sommerfeld. Il suo studio partì dal calore specifico e dalle vibrazioni atomiche.

7.2 Modello classico e quantistico 

Dulong-Petit-Debye vs Einstein, Schrodinberg 

OSCILLATORE ARMONICO

E' un sistema fisico che si muove periodicamente intorno a una posizione di equilibrio. L'esempio più comune è una molla con un peso attaccato ad essa. Quando la molla viene tirata verso l'alto e rilasciata, essa si muove periodicamente verso l'alto e verso il basso, oscillando intorno alla posizione di equilibrio.

L'equazione di moto per un oscillatore armonico è data dalla legge di Hooke, che descrive come la forza applicata al sistema è proporzionale allo spostamento dalla posizione di equilibrio. F=-kx, dove F è la forza, k è la costante di molla e x è lo spostamento dalla posizione di equilibrio.

Gli oscillatori armonici sono stati utilizzati per descrivere una vasta gamma di fenomeni fisici, tra cui il movimento delle particelle in un cristallo, la vibrazione delle membrane in un'organo e la propagazione delle onde elettromagnetiche.

Il calore specifico di un corpo è limitato dalle vibrazioni. A basse temperature si usa la teoria quantistica, mentre alle alte quella classica che è più semplice.

Gli atomi vibrano in modo casuale, ma all'interno del reticolo si influenzano a vicenda. In un sistema periodico non tutte le vibrazioni sono possibili.

1. In genere si ha sempre una sovrapposizione tra bande

2. Se fornisco energia dall'esterno potrei far si che uno strato diventi più energetico da cambiare il proprio modo di vibrazione

3. Il gap tra le bande si traduce nella pratica in veri e propri band gap acustici, più utile per l'analisi di metamateriali

--> MODELLI 3D online : http://henriquemiranda.github.io/phononwebsite/phonon.html?json=http://henriquemiranda.github.io/phononwebsite/localdb/graphene/data.json

7.3 Contributo elettronico al calore

Il contributo elettronico al calore si riferisce alla quantità di calore che viene trasferita da un materiale solido grazie al movimento degli elettroni liberi che lo compongono e può essere calcolato sulla base della teoria di Drude, un modello semplificato che descrive il comportamento degli elettroni all'interno dei metalli.

ERRORE DI DRUDE: Si riferisce alla sottovalutazione del contributo elettronico al calore previsto dal suo modello rispetto a quello osservato sperimentalmente ed è dovuto al fatto che Drude considera gli e- come particelle completamente libere e non tiene conto degli effetti della struttura cristallina del metallo sulla loro distribuzione energetica. In realtà, gli elettroni nei metalli sono soggetti ad alcune restrizioni imposte dalla struttura cristallina del materiale, che limitano la loro libertà di movimento e influenzano la loro distribuzione energetica.

ESPANSIONE DI SOMMERFELD: è una riformulazione del modello che tiene conto degli effetti della struttura cristallina del metallo sulla distribuzione degli elettroni liberi. In particolare, Sommerfeld ha aggiunto un termine correttivo alla distribuzione di Fermi-Dirac degli elettroni liberi, che tiene conto dell'energia cinetica degli elettroni all'interno del metallo..

Inoltre, Sommerfeld ha anche introdotto il concetto di livelli energetici discreti degli elettroni in un metallo, che sono influenzati dalla struttura cristallina del materiale.

7.4 Trasporto del calore

Calcolo della conducibilità specifica k:

Quindi partendo dal Cv=3NKb +9/2 Kb^2/Ef NT e considerando particelle portatori di energia e poi calcolando il flusso abbiamo considerato la velocità e il cammino libero medio di tali particelle. Poi integrando su tutte le possibili particelle abbiamo trovato K. Questo conto è indipendente dalla particella considerata e quindi vale anche per l'elettrone.

--> Ktot=  K fononi + K elettroni

--> Relazione Wiedemann - Franz ratio - Lorentz number

 Rapporto tra la conducibilità termica (K) e la conducibilità elettrica (σ) di un metallo è proporzionale alla sua temperatura (T) :